Chứng Minh Chia Hết và Bài Tập Vận Dụng – Toán 6 Chuyên Đề

Hãy cùng tìm hiểu về cách chứng minh chia hết và áp dụng nó vào giải một số bài tập trong môn Toán 6 nhé!

Cách Chứng Minh Chia Hết

Để chứng minh một biểu thức A chia hết cho một số nguyên a, ta có thể áp dụng các phương pháp sau:

Bạn đang xem: Chứng Minh Chia Hết và Bài Tập Vận Dụng – Toán 6 Chuyên Đề

• Nếu A có dạng tích m.n.p, ta cần chỉ ra rằng m (hoặc n, hoặc p) chia hết cho a. Hoặc m chia hết cho a1, n chia hết cho a2, p chia hết cho a3. Với a = a1.a2.a3.

• Nếu A có dạng tổng m + n + p, ta cần chỉ ra rằng m, n, p cùng chia hết cho a. Hoặc tổng các số dư khi chia m, n, p cho a phải chia hết cho a.

• Nếu A có dạng hiệu m – n, ta cần chỉ ra rằng m, n chia hết cho a có cùng số dư.

Bài Tập Chứng Minh Chia Hết Lớp 6

Bài tập 1: Chứng minh rằng S = 5 + 52 + 53 +…+ 59 + 510 chia hết cho 6.

Lời giải:

• Nhóm tổng S thành tổng các bội số của 6 như sau:
  S = (5 + 52) + (53 + 54) + … + (59 + 510)
  = 5(1 + 5) + 53(1 + 5) + … + 59(1 + 5)
  = 6.5 + 6.53 + … + 6.59
  Mỗi số hạng của tổng S đều chia hết cho 6 nên S chia hết cho 6.

Bài tập 2: Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 6a + 11b chia hết cho 31 thì a + 7b cũng chia hết cho 31. Điều ngược lại có đúng không?

Lời giải:

• Mục tiêu là ta cần phân tích (6a + 11b) về dạng (a + 7b). Ta phân tích như sau:
  6a + 11b = 6a + 42b – 31b = 6(a + 7b) – 31b
  Vì 6a + 11b chia hết cho 31 nên suy ra (a + 7b) chia hết cho 31.
  Ngược lại, nếu lại có (a + 7b) chia hết cho 31, từ công thức trên suy ra (6a + 11b) chia hết cho 31.
  Vậy điều ngược lại cũng đúng.

Bài tập 3: Tìm số nguyên x sao cho:
a) 3x + 4 chia hết cho x – 3
b) x + 1 là ước số của x2 + 7

Lời giải:
a) 3x + 4 chia hết cho x – 3
Mục đích ta cần phân tích 3x + 4 về dạng xuất hiện x – 3. Ta có:
3x + 4 = 3x – 9 + 13 = 3(x – 3) + 13
Ta thấy 13 chia hết cho 13 nên khi và chỉ khi x – 3 chia hết cho 13, tức là x – 3 ∈ { -13, -1, 1, 13}. Vậy x ∈ { -10, 2, 4, 16}.

b) x + 1 là ước số của x2 + 7
Ta có: x2 + 7 = x2 + x – x – 1 + 8 = x(x + 1) – (x + 1) + 8
Vì x + 1 chia hết cho 1 nên khi và chỉ khi x chia hết cho 1, tức là x + 1 ∈ { -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8}. Vậy x ∈ { -9, -5, -3, -2, 0, 1, 3, 7}.

Bài tập 4: Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng:
5a + 2b chia hết cho 17 khi và chỉ khi 9a + 7b chia hết cho 17.

Lời giải:
Xét hiệu: 5.(9a + 7b) – 9.(5a + 2b) = 45a + 35b – 45a – 18b = 17b
Ta thấy 17 chia hết cho 17 nên:

• Nếu 9a + 7b chia hết cho 17 thì 9.(5a + 2b) chia hết cho 17. Mà 9 và 17 là hai số nguyên tố cùng nhau nên 5a + 2b chia hết cho 17.
• Nếu 5a + 2b chia hết cho 17 thì 5.(9a + 7b) chia hết cho 17. Mà 5 và 17 là hai số nguyên tố cùng nhau nên 9a + 7b chia hết cho 17.

Bài tập 5: Chứng minh rằng S chia hết cho 39 biết: S = 3 + 32 + 33 + … + 39.

Bài tập 6: Cho số a = 11…111 gồm 21 chữ số 1. Chứng minh rằng a chia hết cho 111.

Bài tập 7: Tìm số nguyên y sao cho:
a) 2y – 5 chia hết cho y – 1
b) y + 2 là ước số của y2 + 8.

Bài tập 8: Tìm cặp số nguyên x sao cho:
a) (x + 1).(y – 1) = 7
b) -y(x + 2) = 8

Hy vọng qua bài viết này đã giúp các bạn hiểu rõ hơn về cách chứng minh chia hết và áp dụng nó vào giải các bài tập trong môn Toán 6. Để tìm hiểu thêm về các chủ đề liên quan đến giáo dục, hãy ghé thăm Izumi.Edu.VN.

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Tài liệu toán