Lý Thuyết Giới Hạn Của Hàm Số: Công Thức, Ví dụ và Bài Tập

Hãy chào đón một khía cạnh hấp dẫn trong toán học – Lý thuyết giới hạn của hàm số! Trên bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về khái niệm giới hạn, công thức tính và giải các bài tập liên quan. Cùng khám phá thế giới thú vị này nhé!

1. Lý thuyết giới hạn của hàm số

1.1. Giới hạn của hàm số là gì?

Giới hạn của hàm số là giá trị mà hàm số hoặc dãy số tiến dần tới khi biến tiến tới một giá trị xác định. Đây là khái niệm cơ bản trong giải tích và vi tích phân. Với một hàm số f(x), chúng ta nói rằng giới hạn của hàm số là L tại điểm a nếu f(x) tiến càng gần L khi x tiến càng gần a.

Bạn đang xem: Lý Thuyết Giới Hạn Của Hàm Số: Công Thức, Ví dụ và Bài Tập

Ví dụ, khi x tiến đến 2, hàm số x^2 tiến càng gần 4. Ta có thể biểu diễn giới hạn này bằng công thức toán học: lim(x→2) x^2 = 4.

1.2. Giới hạn của hàm số tại 1 điểm

Cho hàm số y = f(x) và khoảng K chứa điểm x0. Chúng ta nói hàm f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới x0 nếu với mọi dãy xn mà xn tiến tới x0, ta có f(xn) tiến dần tới L.

1.3. Giới hạn của hàm số tại vô cực

a, Cho y = f(x) xác định trên một khoảng không chứa x0. Chúng ta nói hàm f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới vô cùng nếu với mọi dãy xn mà xn tiến tới vô cùng, ta có f(xn) tiến dần tới L.

b, Cho y = f(x) xác định trên một khoảng không chứa x0. Chúng ta nói hàm f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới âm vô cùng nếu với mọi dãy xn mà xn tiến tới âm vô cùng, ta có f(xn) tiến dần tới L.

1.4. Giới hạn của hàm số là lim

Giả sử f(x) là một hàm số giá trị thực, a là một số thực. Biểu thức lim f(x) = L có ý nghĩa là f(x) sẽ càng gần L nếu x đủ gần a. Điều này đúng ngay cả khi f(a) không bằng L và khi f(x) không xác định tại a.

2. Các định lý về giới hạn của hàm số

• Định lý 1: Khi lim f(x) = L và lim g(x) = M, ta có:

  • Khi đó, lim (f(x) + g(x)) = L + M.
  • Nếu a < x < b mà f(x) ≤ g(x), thì L ≤ M.

• Định lý 2: Giới hạn của f(x) khi x tiến tới x0 bằng L khi và chỉ khi

3. Một số giới hạn đặc biệt

a, lim x^k = 0 với k < 0.

b, lim (1 + 1/x)^x = e.

c, lim (1 + 1/x)^x = e.

4. Các dạng toán tính giới hạn của hàm số và ví dụ

4.1. Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng định nghĩa

Phương pháp giải: chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số để tính.

Ví dụ: Tìm giới hạn của các hàm số sau đây bằng định nghĩa:

a, lim (x – 1)/(x + 1) khi x tiến tới 1.

b, lim (3x^2 + 2)/(x – 1) khi x tiến tới 1.

4.2. Tìm giới hạn của hàm số dạng 0/0, dạng vô cùng trên vô cùng

Hàm số 0/0 là hàm số có dạng giới hạn f(x)/g(x) khi x tiến tới a, với f(x) và g(x) đều tiến tới 0.

Ví dụ: Tìm các giới hạn dưới đây:

a, lim (x^2 – 4)/(x – 2) khi x tiến tới 2.

b, lim (x^3 – 8)/(x – 2) khi x tiến tới 2.

4.3. Tìm giới hạn hàm số dạng vô cùng trừ vô cùng

Phương pháp giải: Ta tìm các biến hàm số về dạng 1/x rồi tính giới hạn.

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau đây:

a, lim (1/x – 1/(x + 1)) khi x tiến tới vô cùng.

b, lim (x^2 – 1)/(x^3 – 2) khi x tiến tới vô cùng.

4.4. Tìm giới hạn hàm số dạng 0 nhân vô cùng

Phương pháp giải: Ta biến đổi về dạng 0/0 hoặc vô cùng/vô cùng sau đó dùng phương pháp giải của hai dạng này.

Ví dụ: Tìm giới hạn:

a, lim (sin x)/x khi x tiến tới 0.

b, lim (x – sin x)/(x^3) khi x tiến tới 0.

5. Một số bài tập về giới hạn của hàm số

Bài 1: Tìm các giới hạn của hàm số dưới đây bằng giới hạn:

a, lim (x^3 – 1)/(x^2 – 1) khi x tiến tới 1.

b, lim (2x – 1)/(4x + 3) khi x tiến tới -3/4.

Bài 2: Chứng minh các hàm số dưới đây không có giới hạn:

a, lim (1/x) khi x tiến tới 0.

b, lim (cos x) khi x tiến tới vô cùng.

Bài 3: Chứng minh khi x tiến tới 0 không có giới hạn:

lim (sin x)/x khi x tiến tới 0.

Bài 4: Tìm giới hạn sau:

lim (x^2 + 2x + 1)/(x + 1) khi x tiến tới -1.

Bài 5: Tìm giới hạn sau:

lim (2x^3 + 3x^2 – 2)/(4x^2 + 2x – 1) khi x tiến tới vô cùng.

Trên đây là toàn bộ lý thuyết giới hạn của hàm số. Hy vọng các bạn đã nắm được định nghĩa, các định lý, giới hạn đặc biệt cũng như nắm được các dạng bài tập cùng cách tìm giới hạn của hàm số. Đừng quên truy cập Izumi.Edu.VN để học thêm nhiều bài học bổ ích khác nhé!

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Tài liệu toán