Các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch và bài tập

Để hiểu rõ về đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch, chúng ta cùng tìm hiểu các dạng toán về đại lượng này và cách giải chúng chi tiết nhé.

Có thể bạn quan tâm

Lý thuyết cần nhớ về Đại lượng tỉ lệ thuận và Đại lượng tỉ lệ nghịch

Lý thuyết về Đại lượng tỉ lệ thuận

Đại lượng tỉ lệ thuận là gì?

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức: y = kx (với k là hằng số khác 0), ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.

Bạn đang xem: Các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch và bài tập – Toán lớp 7

Chú ý:

Khi y tỉ lệ với x, thì x cũng tỉ lệ thuận với y và ta nói 2 đại lượng này tỉ lệ thuận với nhau.
Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k (k≠0), thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k^-1.

Tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận

Giá trị của tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi.

Lý thuyết về Đại lượng tỉ lệ nghịch

Đại lượng tỉ lệ nghịch là gì?

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức: hay (a là hằng số khác 0), ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

Chú ý: Khi đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x, thì x cũng tỉ lệ nghịch với y và ta nói 2 đại lượng này tỉ lệ nghịch với nhau.

Tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch

Tích của 2 giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ).
Tỉ số hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

Dạng 1: Nhận biết hai đại lượng là tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch

• Phương pháp:

Dựa vào bảng giá trị để nhận biết 2 đại lượng có tỉ lệ thuận với nhau không ta tính các tỉ số nếu cho cùng một kết quả thì x, y tỉ lệ thuận và ngược lại.
Dựa vào bảng giá trị để nhận biết 2 đại lượng có tỉ lệ nghịch với nhau không ta tính các tỉ số x.y nếu cho cùng một kết quả thì x, y tỉ lệ nghịch và ngược lại

Ví dụ 1: Cho x và y có giá trị như bảng dưới, hỏi x và y có tỉ lệ thuận với nhau không?

Bảng 1:
x: 3 -2 1 5 12 6
y: 6 -4 2 10 24 12
Bảng 2:
x: -3 -2 1 5 12 6
y: 6 -4 2 10 24 12

Hướng dẫn:

Bảng 1: Ta lập tỉ lệ x/y, ta có:
x/y = 3/6 = -2/-4 = 1/2 = 5/10 = 12/24 = 6/12
Ta thấy: x/y = -2/-4 = 1/2 = 5/10 = 12/24 = 6/12
⇒ x và y tỉ lệ thuận với nhau (ở ví dụ này ta lập tỉ lệ x/y, các em cũng có thể lập tỉ lệ y/x)
Bảng 2: Ta lập tỉ lệ x/y, ta có:
x/y = -3/6 = -2/-4 = 1/2 = 5/10 = 12/24 = 6/12
Ta thấy: vì x/y = -3/6 = -2/-4 = 1/2 = 5/10 = 12/24 = 6/12 ≠ 1
⇒ x và y KHÔNG tỉ lệ thuận với nhau

Ví dụ 2: Cho x và y có giá trị như bảng dưới, hỏi x và y có tỉ lệ nghịch với nhau không?

Bảng 1:
x: 4 8 -2 1 16 4
y: 9 4 -16 32 2 8
Bảng 2:
x: 4 -2 8 1 12 6
y: 6 -12 3 24 2 4

Hướng dẫn:

Bảng 1: Ta tính các tính x.y tương tứng, ta có:
x1y1 = 4.9 = 36; x2y2= 8.4 = 32
Ta thấy: x1y1 ≠ x2y2
⇒ x và y KHÔNG tỉ lệ nghịch với nhau.
Bảng 2: Ta tính các tính x.y tương tứng, ta có:
x1y1 = 4.6 = 24; x2y2 = (-2).(-12) = 24; x3y3 = 8.3 = 24;…;x6y6 = 6.4 = 24.
Ta thấy: x1y1 = x2y2 = x3y3 = … = x6y6 = 24.
⇒ x và y tỉ lệ nghịch với nhau.

Ví dụ 3 (Bài 5 trang 55 SGK Toán 7 Tập 1): Hai đại lượng x và y có tỉ lệ thuận với nhau hay không nếu:

a) Bảng 1:
x: 1 2 3 4 5
y: 9 18 27 36 45

b) Bảng 2:
x: -3 -2 1 5 12 6
y: 6 -4 2 10 24 12

Hướng dẫn:
a) Ta thấy :
⇒ y = 9x ⇒ y tỉ lệ thuận với x.

b) Ta thấy :
⇒ y không tỉ lệ thuận với x (hay x và y không tỉ lệ thuận với nhau).

Dạng 2: Tính hệ số tỉ lệ, biểu diễn x theo y, tìm x khi biết y (hoặc tìm y khi biết x)

• Phương pháp:

Hệ số tỉ lệ thuận của y với x là: y/k = x; sau khi tính được k ta thay vào biểu thức y/k = x để được mối quan hệ giữa y và x.
Hệ số tỉ lệ thuận của x với y là: x/k = y; sau khi tính được k ta thay vào biểu thức x/k = y để được mối quan hệ giữa x và y.
Hệ số tỉ lệ nghịch là k=x.y; sau khi tính được k ta thay vào biểu thức k/x = y hoặc k/y = x để được mối quan hệ giữa x và y.
Sau khi biểu diễn mối quan hệ giữa y và x, ta dựa vào đó để tính y khi biết x và ngược lại để điền vào các ô dữ liệu theo yêu cầu bài toán.

Ví dụ: Cho x và y là 2 đại lượng tỉ lệ thuận, x = 3 và y = 6.

a) Tìm hệ số tỉ lệ thuận của y với x
b) Biểu diễn y theo x
c) Tính x khi y = 24 và tính y khi x = 6

Hướng dẫn:
a) Hệ số tỉ lệ thuận:
⇒ k = y/x = 6/3 = 2

b) Vì k = 2 nên y = 2x
c) Với y = 24 ⇒ 2x = 24 ⇒ x = 12
Với x = 6 ⇒ y = 2x = 2.6 = 12.

Dạng 3: Cho x và y là 2 đại lượng Tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch) với nhau, hoàn thành bảng số liệu

• Phương pháp:

Tính k và biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
Thay các giá trị tương ứng để hoàn thành bảng

Ví dụ 1 (Bài 2 trang 54 SGK Toán 7 Tập 1): Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

x: -3 -1 1 2 5 12 6
y: 6 -4 2 10 24 12

Lời giải:

Vì x và y tỉ lệ thuận nên y = k.x
Theo bài ra khi x = 2 thì y = -4 nên ta có hệ số tỉ lệ: k = y/x = -4/2 = -2
Vậy ta có: y = -2x
Với x = -3 thì y = -2.(-3) = 6
Với x = -1 thì y = -2.(-1) = 2
Với x = 1 thì y = -2.(1) = -2
Với x= 5 thì y = -2.(5) = -10
Với x = 12 thì y = -2.(12) = -24
Với x = 6 thì y = -2.(6) = -12

⇒ Ta có bảng sau :

x: -3 -1 1 2 5 12 6
y: 6 2 -2 -10 -24 -12

Ví dụ 2 (Bài 13 trang 58 SGK Toán 7 Tập 1): Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

x: 4 8 -2 1 16 4
y: 6 -4 2 10 24 12

Lời giải:

Giả sử hệ số tỉ lệ của x và y là a, thì a.x.y = a.
Theo bài ra, khi y = 2 thì x = 4 ⇒ a.4.2 = a
⇒ Ta có: a = x.y = 4.2 = 8
Vậy ta có: x.y = 8

Với x = 4 thì y = 8/4 = 2
Với x = 8 thì y = 8/8 = 1
Với x = -2 thì y = 8/(-2) = -4
Với x= 1 thì y = 8/1 = 8
Với x = 16 thì y = 8/16 = 1/2
Với x = 4 thì y = 8/4 = 2

⇒ Ta có bảng sau :

x: 4 8 -2 1 16 4
y: 2 1 -4 8 1/2 2

Dạng 4: Cho x tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch) với y, y tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch) với z. Tìm mối liên hệ giữa x và z và tính hệ số tỉ lệ

• Phương pháp:

Dựa vào đề bài biểu diễn x theo y, y theo z rồi thay y vào biểu thức trên để tìm mối quan hệ giữa x và z, sau đó rút ra kết luận.

Ví dụ 1: Cho x tỉ lệ thuận với y theo tỉ số k=3, y tỉ lệ thuận với z theo tỉ số k=2. Hỏi x tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với z và tỉ số bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Theo bài ra, x tỉ lệ thuận với y theo tỉ số k=3 ⇒ x = 3y (*)
y tỉ lệ thuận với z theo tỉ số k=2 ⇒ y = 2z (**)
Thế y ở phương trình (*) vào phương trình () ⇒ x = 3y = 3(2z) = 6z.
⇒ Vậy x tỉ lệ thuận với z với tỉ số k=6.
Lưu ý: như vậy, x tỉ lệ thuận với y, y tỉ lệ thuận với z ⇒ x tỉ lệ thuận với z (Thuận + Thuận → Thuận)

Ví dụ 2: cho x tỉ lệ nghịch với y theo k=3, y tỉ lệ nghịch với z theo k=6. Hỏi x và z tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch và hệ số tỉ lệ k là bao nhiêu.

Hướng dẫn:

Theo bài ra, x tỉ lệ nghịch với y theo k=3 ⇒ (*)
y tỉ lệ nghịch với z theo k=6 ⇒ (**)
Thế y ở phương trình (*) vào phương trình () ⇒
⇒ Vậy x tỉ lệ nghịch với z với tỉ số k=-6.
Lưu ý: như vậy, x TLN với y, y TLN với z ⇒ x TLT với z (Nghịch + Nghịch → Thuận)

Ví dụ 3. Cho x tỉ lệ thuận với y theo k=5, y tỉ lệ nghịch với z theo k=2. Hỏi x và z tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch và hệ số tỉ lệ k là bao nhiêu.

Hướng dẫn:

Theo bài ra, x tỉ lệ thuận với y theo k=5 ⇒ (*)
y tỉ lệ nghịch với z theo k=2 ⇒ (**)
Thế y ở phương trình (*) vào phương trình () ⇒
⇒ Vậy x tỉ lệ nghịch với z với tỉ số k=10.

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Tài liệu toán