Phương trình đường tròn – Công thức và bài tập thú vị

Bạn có biết rằng phương trình đường tròn là một phần kiến thức vô cùng quan trọng trong môn Toán lớp 10? Nắm vững công thức và thực hành các bài tập về phương trình đường tròn sẽ giúp bạn tự tin hơn trong học tập và giải quyết các bài tập phức tạp hơn. Hãy cùng Izumi.Edu.VN khám phá chi tiết về phương trình đường tròn và làm những bài tập thú vị nhé!

Có thể bạn quan tâm

Lý thuyết về phương trình đường tròn

1.1. Phương trình đường tròn

Trước hết, chúng ta cùng tìm hiểu về phương trình đường tròn. Đường tròn trên mặt phẳng tọa độ Oxy có tâm I(a, b) và bán kính R được biểu diễn bằng phương trình: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$. Đối với đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R, phương trình tương đương là $x^2+y^2 = R^2$.

Bạn đang xem: Phương trình đường tròn – Công thức và bài tập thú vị

1.2. Phương trình tiếp tuyến đường tròn

Ngoài ra, chúng ta cũng tìm hiểu về phương trình tiếp tuyến của đường tròn. Đối với đường tròn (C) có tâm I(a, b) và đường tiếp tuyến tại điểm M0(x0, y0), phương trình đường tiếp tuyến là $(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0$. Để hiểu rõ hơn về phần này, bạn có thể xem thêm bài viết về Phương trình tiếp tuyến đường tròn để nắm vững thông tin này.

Các dạng bài tập thường gặp

Giờ bạn đã hiểu cơ bản về phương trình đường tròn, hãy cùng thử lái xe qua một số dạng bài tập thú vị liên quan đến phương trình đường tròn:

2.1. Nhận dạng phương trình đường tròn

Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm hiểu cách nhận dạng phương trình đường tròn và điều kiện để một phương trình là phương trình đường tròn. Có 2 cách để giải dạng bài này:

Cách 1: Đưa phương trình trên đề bài về dạng $(x-a)^2+(y-b)^2=P$ và xác định điều kiện của P.
Cách 2: Đưa phương trình trên đề bài về dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ và xét điều kiện của a, b, c.

2.2. Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu cách lập phương trình đường tròn đi qua các điểm đã cho. Có 2 cách để giải dạng bài này:

Cách 1: Xác định toạ độ của tâm I(a, b) và bán kính R, sau đó viết phương trình đường tròn dưới dạng: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$.
Cách 2: Thiết lập hệ phương trình với 3 ẩn a, b, c sau đó giải hệ và xác định phương trình đường tròn.

2.3. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

Trên đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ($Delta$), khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ($Delta$) chính là bán kính R. Tùy vào điều kiện của bài toán mà ta có các trường hợp sau:

Khi (C) tiếp xúc với 1 đường thẳng ($Delta$), khoảng cách từ tâm I đến ($Delta$) bằng R.
Khi (C) tiếp xúc với 1 đường thẳng ($Delta$) tại điểm A, khoảng cách từ tâm I đến ($Delta$) bằng R.
Khi (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng (1) và (2), khoảng cách từ tâm I đến (1) và (2) đều bằng R.

2.4. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

Cuối cùng, chúng ta sẽ tìm hiểu cách viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác. Có 2 cách để giải dạng bài này:

Cách 1: Tính diện tích S và nửa chu vi P của tam giác nhằm tìm bán kính đường tròn: $r=frac{S}{P}$. Sau đó, thiết lập hệ phương trình để tìm tọa độ của tâm I(a, b).
Cách 2: Viết phương trình của đường phân giác trong thuộc hai góc trong tam giác. Tìm giao điểm của hai đường phân giác đó để tìm tâm I của đường tròn. Tính khoảng cách từ tâm I tới một cạnh bất kỳ trong tam giác để tìm bán kính R.

Hãy thử làm một số bài tập sau để rèn kỹ năng của mình:

Cho phương trình đường tròn $4x^2 + 4y^2 – 4x + 8y – 59 = 0$, hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
Cho các phương trình $x^2+y^2+2x-4y+9=0$ và $2x^2+2y^2-8x-4y-6=0$, hãy xác định phương trình đường tròn là phương trình nào và tìm tâm và bán kính của nó.
Với phương trình đường tròn $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 8$, hãy lập phương trình tiếp tuyến đường tròn tại điểm M(3, 4).

Đừng lo, khi bạn đăng ký khoá học tại Izumi.Edu.VN, các thầy cô sẽ giúp bạn ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán vững vàng.

Bài tập luyện tập về phương trình đường tròn

Cuối cùng, để nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng của mình, hãy thử làm một số bài tập luyện tập về phương trình đường tròn:

Cho $4x^2 + 4y^2 – 4x + 8y – 59 = 0$ là phương trình của một đường tròn. Hãy xác định toạ độ của tâm cùng bán kính của đường tròn đó.
Cho các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Hãy xác định toạ độ của tâm và bán kính nếu đó là đường tròn.

a) $x^2+y^2+2x-4y+9=0$

b) $2x^2+2y^2-8x-4y-6=0$
Với đường cong ($C_m$) có phương trình là $x^2+y^2-2mx-4(m-2)y+6-m=0$, hãy tìm điều kiện m để phương trình trên là phương trình đường tròn và xác định toạ độ tâm cùng bán kính theo m.
Hãy xác định phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường tròn có tâm I(1, -5) và chạy qua điểm O(0, 0).

b) Đường tròn có đường kính AB với A(1, 1) và B(7, 5).
Viết phương trình của đường tròn (C) với tâm I(-1, 2), đồng thời nó tiếp xúc với đường thẳng $x+2y-8=0$.
Với 2 đường thẳng $q_1:3x+4y+5=0$ và $q_2:4x-3y-5=0$, hãy xác định phương trình của đường tròn với tâm nằm trên đường thẳng $a:x-6y-10=0$ và tiếp xúc với cả 2 đường thẳng $q_1$, $q_2$.
Cho toạ độ 2 điểm A(8, 0) và B(0, 6). Hãy tìm phương trình của đường tròn nội tiếp tam giác OAB.
Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng d’: $3x + 5y – 1 = 0$ và đường tròn (C) có phương trình $x^2+y^2=3^2$.
Hãy lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M(3, 4), biết phương trình của đường tròn là $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 8$.
Xác định phương trình của đường tròn (C) với điều kiện (C) đi qua 3 điểm A(1, 2), B(5, 2) và C(1, -3).

Đăng ký ngay khoá học tại Izumi.Edu.VN để được các thầy cô hướng dẫn ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán vững vàng. Hãy truy cập Izumi.Edu.VN để biết thêm nhiều kiến thức hay và thú vị về Toán học và Hoá học THPT.

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Công thức