Tìm hiểu về định lý hàm số cos và ứng dụng trong tam giác

Khi tìm hiểu về các hàm lượng giác trong toán học, chúng ta không thể không nhắc đến hàm cosin – một hàm số quen thuộc và hữu ích trong các bài toán. Tuy nhiên, có nhiều bạn học sinh vẫn chưa rõ về định lý hàm số cos và những ứng dụng phổ biến của nó trong toán học. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về định lý này và áp dụng nó trong việc học tập.

Sự ra đời của định lý hàm số cos

Định lý hàm số cos nghe có vẻ quen thuộc, nhưng không phải ai cũng biết nó được ra đời như thế nào. Định lý này được phát minh bởi nhà toán học Al Kashi, một học giả vĩ đại người Trung Á sống vào thế kỷ 15. Nhà toán học Al Kashi sinh ra ở vùng Kashan của Iran và là một trong những học giả vĩ đại cuối cùng của trường phái Samarkand. Vì vậy, định lý hàm số cos còn được gọi là định lý Al Kashi.

Bạn đang xem: Tìm hiểu về định lý hàm số cos và ứng dụng trong tam giác

Định lý hàm số cos là một phần mở rộng của định lý Pitago. Nếu định lý Pitago giúp chúng ta tìm cạnh khuyết trong tam giác vuông, thì định lý hàm số cos cung cấp một phương pháp để tìm cạnh của tam giác thông thường. Định lý này có thể được áp dụng trong các trường hợp sau:

• Xác định cạnh của tam giác thông thường khi biết hai cạnh và góc xen giữa chúng.
• Xác định góc của tam giác khi biết các cạnh của tam giác.
• Xác định cạnh thứ ba của tam giác khi biết hai cạnh và góc đối diện với một trong hai cạnh này.

Định lý của Euclide

Định lý của Euclide cũng có liên quan đến định lý hàm số cos. Định lý này được phát biểu trong tam giác tù và có dạng hình học. Định lý Euclide nói rằng “Trong một tam giác tù, bình phương của cạnh đối diện góc tù lớn hơn tổng bình phương của hai cạnh kề góc tù là hai lần diện tích của hình chữ nhật có một cạnh bằng một trong hai cạnh kề góc tù của tam giác (cụ thể là cạnh có đường cao hạ xuống nó) và đoạn thẳng đã được cắt giảm từ đường thẳng kéo dài của cạnh đó về phía góc tù bởi đường cao trên.”

Định lý hàm cosin trong tam giác

Để tiến xa trong học toán, bạn cần hiểu và vận dụng định lý cosin thành thạo. Định lý cosin trong tam giác có phát biểu như sau: “Trong một tam giác phẳng, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của chúng với cosin của góc xen giữa hai cạnh đó.”

Công thức định lý hàm số cosin cho một tam giác có độ dài cạnh BC = a, cạnh AC = b, cạnh AB = c và các góc tương ứng A, B, C là:

• CosA = (b^2 + c^2 – a^2) / (2bc)
• CosB = (c^2 + a^2 – b^2) / (2ca)
• CosC = (a^2 + b^2 – c^2) / (2ab)

Hệ quả quan trọng của định lý cosin là: “Trong một tam giác, ta luôn tính được các góc nếu biết 3 cạnh.” Vậy nếu định lý cosin cho phép tính các cạnh thì hệ quả của nó cho phép tính góc trong tam giác. Có thể áp dụng chúng vào một bài toán khá quen thuộc: “Lập công thức đường trung bình trong tam giác.”

Cách vận dụng định lý cosin trong tam giác

Dưới đây là một số ví dụ về việc áp dụng định lý cosin trong tam giác:

Bài 1: Đường dây cao thế thẳng từ A đến B có độ dài 10km, từ A đến C có độ dài 8km, góc tạo bởi hai đường dây trên khoảng 75 độ. Hỏi khoảng cách từ B đến C là bao nhiêu?

Lời giải:

• Áp dụng định lý cosin, ta có: a^2 = b^2 + c^2 – 2bccosA = 8^2 + 10^2 – 2810cos75
• Khoảng cách giữa B và C là căn bậc hai của a^2.

Bài 2: Cho tam giác ABC có góc A = 120 độ, cạnh b = 8cm và c = 5cm. Tính cạnh a và góc B, C.

Lời giải:

• Sử dụng định lý cosin, ta có: a^2 = b^2 + c^2 – 2bccosA = 8^2 + 5^2 – 285cos120
• Từ đó, tính được a. Sau đó, áp dụng công thức của cosin để tính góc B và góc C.

Bài 3: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và đường trung tuyến AM = c = AB. Chứng minh rằng: a^2 = 2(b^2 + c^2)

Lời giải:

• Ta có công thức về đường trung tuyến như sau: AM^2 = 2(AB^2 + AC^2) – BC^2
• Từ công thức trên, chứng minh được a^2 = 2(b^2 + c^2)

Định lý cosin cũng có thể được áp dụng để giải quyết các bài toán thực tế. Ví dụ, nếu bạn muốn đo chiều cao của một công trình hoặc một cây cao, nhưng không thể trèo lên đỉnh để đo trực tiếp, bạn có thể sử dụng định lý cosin và áp dụng nó vào độ dài tương ứng của các cạnh trong tam giác để tính chiều cao cần thiết.

Vậy đó là một số kiến thức cơ bản về định lý hàm số cos và cách vận dụng nó trong tam giác. Hiểu và áp dụng đúng định lý này là điều kiện tiên quyết để tiến sâu hơn trong môn toán học. Hãy cùng tham khảo thêm các bài viết khác tại Izumi.Edu.VN để nắm vững hơn nhé!

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Công thức