Công Thức Cấp Số Cộng và Cấp Số Nhân & Bài Tập Đầy Hấp Dẫn

Hãy cùng nhau khám phá về các công thức cấp số cộng và cấp số nhân, và tìm hiểu cách áp dụng chúng vào các bài tập thú vị trong toán học.

Cấp Số Nhân

Trước hết, chúng ta sẽ tìm hiểu về cấp số nhân. Cấp số nhân là một dãy số trong đó mỗi số nhân với một số không đổi gọi là công bội. Định nghĩa cấp số nhân như sau:

Bạn đang xem: Công Thức Cấp Số Cộng và Cấp Số Nhân & Bài Tập Đầy Hấp Dẫn

• Un là số hạng thứ n của cấp số nhân, với định nghĩa là un+1=un.q (với n là số nguyên dương).
• q là công bội, được tính bằng cách q=u_{n+1}/u_n.

Để tính toán số hạng thứ n của cấp số nhân, ta sử dụng công thức sau:
un = u1 * q^(n-1)

Cấp Số Cộng

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu về cấp số cộng. Cấp số cộng là một dãy số trong đó mỗi số bằng tổng của số trước đó và một số không đổi gọi là công sai.

Dãy số cấp số cộng có thể là vô hạn hoặc hữu hạn. Ví dụ như: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …

Để tính toán số hạng thứ n của cấp số cộng, chúng ta sử dụng công thức sau:
un = u1 + (n-1)d

Tổng hợp các công thức cấp số cộng và cấp số nhân

Công thức của cấp số nhân và cấp số cộng rất dễ ghi nhớ, và chúng có liên quan đến các giá trị đặc trưng của hai dạng dãy số này.

Công thức cấp số cộng

• Công thức cấp số cộng tổng quát: un = um + (n-m)d
• Số hạng thứ 2 trở đi của cấp số cộng bằng trung bình cộng của hai số hạng liền kề nó.

Công thức cấp số nhân

• Công thức cấp số nhân: un = um * q^(n-m)
• Công thức tổng n số hạng đầu cấp số nhân: S{n} = u{1} * (1-q^n) / (1-q)

Những công thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến cấp số cộng và cấp số nhân dễ dàng hơn.

Một số bài tập về cấp số cộng và cấp số nhân (kèm lời giải chi tiết)

Dưới đây là một số bài tập thú vị liên quan đến cấp số cộng và cấp số nhân, cùng với lời giải chi tiết cho từng bài tập.

Bài 1:

Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120.

Giải:
Giả sử công sai là d, bốn số hạng lần lượt là a-3d, a-d, a+d, a+3d. Khi đó, chúng ta có:
(a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 20
(a-3d)^2 + (a-d)^2 + (a+d)^2 + (a+3d)^2 = 120

Kết luận, bốn số hạng cần tìm lần lượt là 2, 4, 6, 8.

Bài 2:

Cho cấp số cộng (un): …
Hãy tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng?

Giải:
Từ giả thiết, chúng ta có: …

Bài 3:

Cho cấp số cộng …
Hãy tính công sai và công thức tổng quát của cấp số cộng đã cho.

Giải:
Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có: …

Vậy ta có công sai của cấp số là d = …

Công thức tổng quát: …

Bài 4:

Cho cấp số cộng …
Hãy tính S = u1 + u4 + u7 + … + u2011?

Giải:
Ta có các số hạng u1, u4, u7, …, u2011 lập thành một cấp số cộng với 670 số hạng và công sai d’ = 3d. Do đó, ta có: …

Bài 5:

Cho cấp số cộng …
Hãy xác định công sai và công thức tổng quát của cấp số cộng.

Giải:
Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có: …
Vậy ta có công sai của cấp số là d = …

Công thức tổng quát: …

Bài 6:

Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác 0, hãy tìm u1.

Giải:
q = 2 hoặc q = …

Kết luận, u1 = 1 hoặc u1 = 8.

Bài 7:

Cho cấp số nhân …
Hỏi 5 số hạng đầu của cấp số nhân là bao nhiêu?

Giải:
Gọi q là bội của cấp số. Theo giả thiết, chúng ta có: …

5 số hạng đầu của cấp số nhân cần tìm là u1 = 2, u2 = 23, u3 = 29, u4 = 27, u5 = 281.

Bài 8:

Cho cấp số nhân …
Tính tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân?

Giải:

Bài 9:

Cho cấp số nhân thỏa mãn …
Hãy tính công bội và công thức tổng quát của cấp số nhân trên.

Giải:
a. Từ giả thiết mà đề bài đã cho, chúng ta có: …
Trong TH …

Hy vọng những công thức cấp số cộng và cấp số nhân này sẽ giúp bạn ghi nhớ hiệu quả và giải quyết các bài tập liên quan đến cấp số cộng, cấp số nhân trong chương trình toán lớp 11. Hãy tham gia khóa học DUO 11 tại Izumi.Edu.VN để được các giáo viên xây dựng lộ trình ôn thi THPT đạt 9+ ngay từ bây giờ.

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Công thức