Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

Cách tính delta, delta phẩy trong phương trình bậc 2 là một kiến thức quan trọng được học trong chương trình môn Toán lớp 9 và cũng là phần nội dung không thể thiếu trong các bài thi, bài kiểm tra Toán 9. Đây cũng là nền tảng cho các bài toán từ cơ bản đến nâng cao của Toán lớp 9. Dưới đây sẽ trình bày chi tiết về cách tính delta, delta phẩy và ứng dụng giải phương trình bậc 2. Mời các bạn tham khảo.

Định nghĩa về Delta trong toán học

• Delta là một chữ cái trong bảng chữ Hy Lạp, được kí hiệu là Δ (đối với chữ hoa) và δ (đối với chữ thường).
• Trong toán học, đặc biệt là Toán 9, ký hiệu Δ chỉ một biệt thức trong phương trình bậc hai mà dựa vào từng giá trị của delta ta có thể kết luận được số nghiệm của phương trình bậc hai.
  • Nếu Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
  • Nếu Δ = 0, phương trình có một nghiệm kép.
  • Nếu Δ < 0, phương trình không có nghiệm thực.
• Ngoài ra delta còn dùng để kí hiệu cho đường thẳng mà các bạn sẽ được học ở các lớp cao hơn.
  Tóm lại, “Delta” trong toán học có thể đề cập đến ký hiệu chữ cái trong bảng chữ Hy Lạp hoặc có ý nghĩa đặc biệt trong việc giải phương trình bậc hai và đại diện cho đường thẳng trong các lớp toán cao hơn.

Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax² + bx + c = 0
Trong đó a ≠ 0, a, b là hệ số, c là hằng số.

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Ta sử dụng một trong hai công thức nghiệm sau để giải phương trình bậc hai một ẩn:

Bạn đang xem: Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

• Tính: ∆ = b² – 4ac
  • Nếu ∆ > 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.
  • Nếu ∆ = 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm kép.
  • Nếu ∆ < 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 vô nghiệm.
• Tính: ∆’ = b’² – ac trong đó b’ = 2a ( được gọi là công thức nghiệm thu gọn)
  • Nếu ∆’ > 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.
  • Nếu ∆’ = 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm kép.
  • Nếu ∆’ < 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 vô nghiệm.

Tại sao phải tìm ∆?

Ta xét phương trình bậc 2:
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
⇔ a(x² + x) + c = 0 (rút hệ số a làm nhân tử chung)
⇔ a[x² +2..x + – ]+ c = 0 (thêm bớt các hệ số để xuất hiện hằng đẳng thức)
(biến đổi hằng đẳng thức)
(chuyển vế)
(quy đồng mẫu thức)
(1) (nhân chéo do a ≠ 0)

Vế phải của phương trình (1) chính là mà chúng ta vẫn hay tính khi giải phương trình bậc hai. Vì 4a² > 0 với mọi a ≠ 0 và nên vế trái luôn dương. Do đó chúng ta mới phải biện luận nghiệm của b² – 4ac.

Biện luận nghiệm của biểu thức

• Với b² – 4ac < 0, vì vế trái của phương trình (1) lớn hơn bằng 0, vế phải của phương trình (1) nhỏ hơn 0 nên phương trình (1) vô nghiệm.
• Với b² – 4ac = 0, phương trình trên trở thành:

Phương trình đã cho có nghiệm kép .

• Với b² – 4ac > 0, phương trình trên trở thành:

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
và

Trên đây là toàn bộ cách chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Nhận thấy rằng b² – 4ac là mấu chốt của việc xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Nên các nhà toán học đã đặt ∆ = b² – 4ac nhằm giúp việc xét điều kiện có nghiệm trở nên dễ dàng hơn, đồng thời giảm thiểu việc sai sót khi tính toán nghiệm của phương trình.

Bảng tổng quát nghiệm của phương trình bậc 2

Phương trình bậc hai
Trường hợp nghiệm
Công thức nghiệm
Công thức nghiệm thu gọn (áp dụng khi hệ số chẵn)
với
Phương trình vô nghiệm
Phương trình có nghiệm kép: .
Phương trình có nghiệm kép:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 0″ width=”50″ height=”17″ data-type=”0″ data-latex=”∆ > 0″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=∆%20%3E%200″>;. Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Một số ví dụ giải phương trình bậc hai

Giải các phương trình sau:

a, x² – 5x + 4 = 0
b, 6x² + x + 5 = 0
c, 16x² – 40x + 25 = 0
d, x² – 10x + 21 = 0
e, x² – 2x – 8 = 0
f, 4x² – 5x + 1 = 0
g, x² + 3x + 16 = 0
h, 2x² + 2x + 1 = 0

Nhận xét:

• Ta có: b² – 4ac = 32 > 0
• Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
• Nhận xét: b² – 4ac = 16 > 0
• Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
• Nhận xét: b² – 4ac = 25 > 0
• Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
• Nhận xét: b² – 4ac = 9 > 0
• Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
• Nhận xét: b² – 4ac = 9 > 0
• Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
• Nhận xét: b² – 4ac = 9 > 0
• Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
• Nhận xét: b² – 4ac = -55 < 0
• Phương trình vô nghiệm
• Nhận xét: b² – 4ac = 0
• Phương trình có nghiệm kép:
• Nhận xét: b² – 4ac = -4 < 0
• Phương trình vô nghiệm

Các dạng bài tập sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn

Bài 1: Giải các phương trình dưới đây:
a, x² – 5x + 4 = 0
b, 6x² + x + 5 = 0
c, 16x² – 40x + 25 = 0
d, x² – 10x + 21 = 0
e, x² – 2x – 8 = 0
f, 4x² – 5x + 1 = 0
g, x² + 3x + 16 = 0
h, 2x² + 2x + 1 = 0

Nhận xét:

• a, Ta có: ∆ = 9 > 0
• Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
• b, Ta có: ∆ = -119 < 0
• Suy ra phương trình vô nghiệm
• c, Ta có: ∆’ = 0
• Phương trình có nghiệm kép:
• d, Ta có: ∆’ = 4 > 0
• Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
• e, Ta có: ∆’ = 9 > 0
• Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
• f, Ta có: ∆ = 9 > 0
• Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
• g, Ta có: ∆ = -55 < 0
• Phương trình vô nghiệm
• h, Ta có: ∆’ = -1 < 0
• Phương trình vô nghiệm

Bài 2: Cho phương trình (1)
a, Tìm m để phương trình có nghiệm x = 1
b, Tìm m để phương trình có nghiệm kép
c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Nhận xét:

• a, x = 1 là nghiệm của phương trình (1). Suy ra thay x = 1 vào phương trình (1) có:
• Xét phương trình (2)
  Có ∆’ = 9 > 0
  Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt và
  Vậy với m = 5 hoặc m = -1 thì x = 1 là nghiệm của phương trình (1)
• b, Xét phương trình (1) có:
  Để phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi
  Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình (2) có
  Vậy với m = 2 thì phương trình (1) có nghiệm kép
• c, Xét phương trình (1) có:
  Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
  Vậy với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Bài 3: Giả sử phương trình bậc hai x² + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm dương. Chứng minh rằng a² + b² là một hợp số.

Cho phương trình x² + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm dương x1 và x2.
Theo công thức nghiệm ta có:
x1 + x2 = -a
x1 * x2 = b + 1

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
(a/2)^2 = (x1 + x2)^2/4 ≤ (x1 * x2)
(a/2)^2 ≤ b + 1
a²/4 ≤ b + 1
a² ≤ 4b + 4

Vậy a² + b² ≤ a² + 4b + 4. Từ đó ta thấy a² + b² là một hợp số.

Bài 4: Cho phương trình (2m – 1)x² – 2(m + 4 )x + 5m + 2 = 0 (m ≠ ½)
Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
Khi phương trình có nghiệm x1, x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.
Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.

Nhận xét:

• Áp dụng công thức nghiệm ta có:
  ∆ = 64(m + 4)² – 4(2m – 1)(5m + 2) = 336m² + 288m + 32 = 8(42m² + 36m + 4) = 8(6m + 2)²
  ∆ ≥ 0
  42m² + 36m + 4 ≥ 0

• Giải bất đẳng thức ta có [-4/21, +∞)

• Áp dụng công thức nghiệm ta có:
  S = x1 + x2 = (m + 4)/(2m – 1)
  P = x1 * x2 = (5m + 2)/(2m – 1)

• Tìm hệ thức giữa S và P:
  S * P = (m + 4)(5m + 2)/(2m – 1)² = (5m + 2)(5m + 2)/(2m – 1)² = (25m² + 20m + 4)/(2m – 1)²

Vậy hệ thức giữa S và P sao cho không có m là: (25m² + 20m + 4)/(2m – 1)²

Bài 5: Cho phương trình x² – 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 – x2 = 4.

Nhận xét:

• Áp dụng công thức nghiệm ta có:
  ∆ = 36 – 4m ≥ 0
  -36 ≤ 4m
  -9 ≤ m

• Áp dụng công thức nghiệm ta có:
  x1 + x2 = 6/1 = 6
  x1 * x2 = m/1 = m

• Từ điều kiện x1 – x2 = 4 suy ra:
  (x1 + x2) – 2×2 = 4
  6 – 2×2 = 4
  2×2 = 2
  x2 = 1

• Từ đó suy ra:
  6 – x1 = 4
  x1 = 2

Vậy giá trị của m là m = x1 x2 = 2 1 = 2.

Bài 6: Cho phương trình bậc hai: 2x² + (2m – 1)x +m – 1 =0
Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó.
Xác định m để phương trình có hai nghiệm phan biệt x1, x2 thỏa mãn -1 < x1 < x2 < 1
Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hãy lập một hệ thức giữa x1, x2 không có m.

• Chứng minh phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m:
  Áp dụng công thức nghiệm ta có:
  ∆ = (2m – 1)² – 4(2)(m – 1) = 4m² – 4m + 1 – 8m + 8 = 4m² – 12m + 9 = (2m – 3)²
  ∆ ≥ 0

• Xác định m để phương trình có nghiệm kép:
  ∆ = 0
  4m² – 12m + 9 = 0
  (m – 3)² = 0
  m = 3

• Tìm nghiệm đó:
  Áp dụng công thức nghiệm ta có:
  x = -b/2a
  x = -(2m-1)/4

• Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt -1 < x1 < x2 < 1:
  Áp dụng công thức nghiệm ta có:
  ∆ > 0
  (2m – 3)² > 0

• Lập một hệ thức giữa x1, x2 không có m:
  Áp dụng công thức nghiệm ta có:
  x1 * x2 = (m – 1)/(2m – 1)

Bài 7: Cho f(x) = x² – 2(m +2)x+ 6m +1
Chứng minh rằng pt f(x) = 0 luôn nghiệm với mọi m.
Đặt x = t + 2; tình f(x) theo t. Từ đó tìm điều kiện của m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2.

• Chứng minh phương trình luôn luôn nghiệm với mọi m:
  Áp dụng công thức nghiệm ta có:
  ∆ = 4(m + 2)² – 4(1)(6m + 1) = 4m² + 16m + 16 – 24m – 4 = 4m² – 8m + 12 ≥ 0

• Đặt x = t + 2; tình f(x) theo t:
  f(x) = (t + 2)² – 2(m + 2)(t + 2) + 6m + 1
  = t² + 4t + 4 – 2mt – 4m – 4 + 6m + 1
  = t² + (4 – 2m)t + 6m + 1

• Từ đó tìm điều kiện của m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2:
  Áp dụng công thức nghiệm ta có:
  ∆ = (4 – 2m)² – 4(1)(6m + 1) = 4 – 16m + 4m² – 24m – 4 = 4m² – 40m
  ∆ > 0
  4m² – 40m > 0
  m > 0

Vậy phương trình f(x) = 0 luôn nghiệm với mọi m và phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2 khi m > 0.

Bài 8: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx +c thỏa mãn điều kiện Ι f(x)Ι ≤ 1 với mọi x ∈ { -1; 1 }. Tìm GTNN của biểu thức A= 4a² + 3b².

• Áp dụng điều kiện Định lý Viète, ta có:
  Ι f(-1)Ι ≤ 1: a – b + c ≤ 1
  Ι f(1)Ι ≤ 1: a + b + c ≤ 1

• Từ (1) và (2) suy ra:
  f(-1) * f(1) ≤ 1: (a – b + c)(a + b + c) ≤ 1
  a² – b² + c² ≤ 1
  4a² + 4b² + 4c² ≤ 4
  4a² + 3b² + c² + b² + 3c² ≤ 4
  4a² + 3b² ≤ 4

Vậy GTNN của biểu thức A= 4a² + 3b² là 4.

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Công thức