Phương trình bậc hai với hệ số thực: Cách giải đơn giản, dễ hiểu

Phương trình bậc hai với hệ số thực là một chủ đề quan trọng trong môn Toán lớp 12. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải các phương trình bậc hai với hệ số thực một cách đơn giản và dễ hiểu.

Ví dụ 1

Phương trình 1: Giải phương trình ${z^2} + 2z + 5 = 0$

Bạn đang xem: Phương trình bậc hai với hệ số thực: Cách giải đơn giản, dễ hiểu

Ta có: $Delta = -4 = 4i^2 Rightarrow z = -1 pm 2i$

Vậy phương trình có 2 nghiệm: $z=-1+2i$ và $z=-1-2i$.

Phương trình 2: Giải phương trình ${z^3} + 8 = 0$

Ta có: ${z^3} + 8 = 0 Leftrightarrow (z + 2)({z^2} – 2z + 4) = 0 Leftrightarrow begin{cases} z = -2 {z^2} – 2z + 4 = 0 end{cases}$

Giải phương trình ${z^2} – 2z + 4 = 0:$

Ta có: $Delta’ = -3 = 3i^2 Rightarrow$ phương trình có hai nghiệm phức: $z = 1 pm sqrt{3}i$

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: $z=-2$, $z=1+sqrt{3}i$ và $z=1-sqrt{3}i$.

Phương trình 3: Giải phương trình ${z^3} – 27 = 0$

Ta có: ${z^3} – 27 = 0 Leftrightarrow (z – 3)({z^2} + 3z + 9) = 0 Leftrightarrow begin{cases} z = 3 {z^2} + 3z + 9 = 0 end{cases}$

Giải phương trình ${z^2} + 3z + 9 = 0:$

Ta có: $Delta = -27 = 27i^2 Rightarrow$ phương trình có hai nghiệm phức: $z = frac{-3 pm 3sqrt{3}i}{2}$

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: $z=3$, $z=frac{-3+3sqrt{3}i}{2}$ và $z=frac{-3-3sqrt{3}i}{2}$.

Phương trình 4: Giải phương trình ${z^4} – {z^3} + 6{z^2} – 8z – 16 = 0$

Ta có: ${z^4} – {z^3} + 6{z^2} – 8z – 16 = 0 Leftrightarrow (z + 1)(z – 2)({z^2} + 8) = 0$

$Leftrightarrow begin{cases} z = -1 z = 2 {z^2} + 8 = 0 end{cases}$

Với hai phương trình đơn ${z^2} + 8 = 0:$

Ta có: $begin{cases} z = pm 2sqrt{2}i end{cases}$

Vậy phương trình có 4 nghiệm: $z=-1$, $z=2$, $z=2sqrt{2}i$ và $z=-2sqrt{2}i$.

Ví dụ 2

Phương trình 1: Giải phương trình $({z^2} – z)(z + 3)(z + 2) = 10$

$Leftrightarrow left( {{z^2} – 2z} right)^2 + 7left( {{z^2} – 2z} right) + 10 = 0$

$Leftrightarrow begin{cases} {z^2} – 2z = -2 {z^2} – 2z = -5 end{cases}$

Với phương trình ${z^2} – 2z = -2:$

Ta có: $z = 1 pm i$

Với phương trình ${z^2} – 2z = -5:$

Ta có: $z = 1 pm 2i$

Phương trình 2: Giải phương trình $ {(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2$

Đặt $t = z + 4$, khi đó phương trình trở thành:

$ {(t – 1)^4} + {(t + 1)^4} = 2 Leftrightarrow {t^4} + 6{t^2} = 0$

$Leftrightarrow begin{cases} {t^2} = 0 {t^2} + 6 = 0 end{cases}$

Với $t = 0 Rightarrow z = -4$

Với $t = sqrt{6}i Rightarrow z = -4 + sqrt{6}i$

Với $t = -sqrt{6}i Rightarrow z = -4 – sqrt{6}i$

Phương trình 3: Giải phương trình ${({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) – 3{z^2} = 0$

Đặt $t = {z^2} + 3z + 6$, khi đó phương trình trở thành:

${t^2} + 2zt – 3{z^2} = 0 Leftrightarrow begin{cases} t = z t = -3z end{cases}$

Với $t = z Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = z Leftrightarrow z = -1 pm sqrt{5}i$

Với $t = -3z Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = -3z Leftrightarrow z = -3 pm sqrt{3}$

Qua các ví dụ trên, chúng ta đã cùng tìm hiểu cách giải các phương trình bậc hai với hệ số thực một cách đơn giản và dễ hiểu. Hy vọng rằng các bạn đã nắm vững phương pháp giải này để có thể áp dụng vào các bài toán thực tế. Để biết thêm thông tin về toán học và các khóa học liên quan, hãy truy cập Izumi.Edu.VN.

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Tài liệu điện