Bảng phân phối xác suất – Lập bảng và bài tập có giải

Bạn đã bao giờ gặp khó khăn khi học về bảng phân phối xác suất? Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức về phần lập bảng phân phối xác suất, cùng với một số bài tập có giải để ôn lại những kiến thức quan trọng nhất trong môn xác suất thống kê.

Hàm xác suất

Định nghĩa hàm xác suất

Hàm xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, được ký hiệu là P(x), được xác định như sau: p(x) = P(X = x), với x là giá trị của biến ngẫu nhiên X.

Bạn đang xem: Bảng phân phối xác suất – Lập bảng và bài tập có giải

Tính chất của hàm xác suất

Hàm xác suất có các tính chất sau:

• (1) p(x) ≥ 0
• (2) Σ p(x_i) = 1

Ví dụ hàm xác suất

Ví dụ: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất một lần. Gọi X là số chấm xuất hiện. X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị từ 1 đến 6. Khi đó, hàm xác suất tương ứng là:

• p(1) = P(X = 1)
• p(2) = P(X = 2)
• …
• p(6) = P(X = 6)

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc một chiều

Khái niệm

Bảng phân phối xác suất là một bảng sử dụng để thiết lập luật phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc.

Bảng gồm hai dòng:

• Dòng trên ghi các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên.
• Dòng dưới ghi các xác suất tương ứng.

Tính chất bảng phân phối xác suất

Từ tính chất của hàm xác suất, chúng ta có:

• 0 ≤ p(x_i) ≤ 1
• Σ p(x_i) = 1

Đồ thị phân phối xác suất

• Biểu diễn các giá trị có thể của biến ngẫu nhiên trên trục ngang.
• Biểu diễn các xác suất của các biến cố tương ứng với các giá trị đó trên trục thẳng đứng. Đồ thị xác suất được biểu diễn bằng đoạn thẳng mà độ cao của nó bằng xác suất.

Hàm phân phối xác suất – Hàm phân phối tích lũy

Định nghĩa

Hàm phân phối xác suất (hay hàm phân phối tích lũy) của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, được ký hiệu là F(x).

Biểu thức

Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có các giá trị từ x_1 đến x_k và các xác suất tương ứng là p(x_1), p(x_2), …, p(x_k), thì biểu thức cụ thể của hàm phân phối tích lũy được cho như sau:

F(x) = p(x_1) + p(x_2) + … + p(x_k)

Đồ thị hàm phân phối tích lũy

Hàm phân phối tích lũy của biến ngẫu nhiên rời rạc là một hàm không liên tục, có dạng hình bậc thang.

Kỳ vọng – Trung bình

Kỳ vọng (giá trị trung bình) của một biến ngẫu nhiên X, được ký hiệu là E(X) hoặc μ, được tính theo công thức sau:

E(X) = Σ x_i * p(x_i)

Phương sai

Phương sai của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, được ký hiệu là σ^2 hoặc V(X), là giá trị trung bình trọng số của bình phương sai lệch giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên X và giá trị trung bình μ của nó:

V(X) = Σ (x_i – μ)^2 * p(x_i)

Độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X, được ký hiệu là σ(X), được tính theo công thức:

σ(X) = √V(X)

Ví dụ tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn

Bài tập:
Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X với bảng phân phối xác suất được cho như sau:
X: -2 -1 0 1 2
P(X): 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8

a) Tính P(X ≤ 2), P(X > -2), P(-1 ≤ X ≤ 1), P(X ≤ -1 hoặc X = 2).
b) Xác định hàm phân phối tích lũy và tính P(X ≤ 1.25), P(X ≤ 2.2).
c) Tính kỳ vọng và phương sai của X.

Giải:
a) Tính xác suất:

• P(X) = 1/8 + 2/8 + 2/8 + 2/8 + 1/8 = 1
• P(X > -2) = 2/8 + 2/8 + 2/8 + 1/8 = 7/8
• P(-1 ≤ X ≤ 1) = 2/8 + 2/8 + 2/8 = 6/8
• P(X ≤ -1 hoặc X = 2) = 1/8 + 2/8 + 1/8 = 1/2

b) Hàm phân phối tích lũy:
P(X ≤ 1.25) = 7/8
P(X ≤ 2.2) = 1

c) Tính kỳ vọng và phương sai của X:
Kỳ vọng: E(X) = -2(1/8) + -1(2/8) + 0(2/8) + 1(2/8) + 2(1/8) = 0
Phương sai: V(X) = [(-2)^2(1/8) + (-1)^2(2/8) + 0^2(2/8) + 1^2(2/8) + 2^2(1/8)] – 0^2 = 5/4

Ý nghĩa của kỳ vọng và phương sai

Ý nghĩa kỳ vọng:

• Kỳ vọng toán phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên.
• Trong kinh tế, kỳ vọng toán đồng thời mang hai ý nghĩa: + Nếu xét trong một số lớn phép thử tương tự thì nó phản ánh giá trị trung bình + Nếu xét trong một phép thử đơn lẻ thì nó phản ánh giá trị mong đợi.

Ý nghĩa phương sai:

• Phương sai phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình.
• Phương sai càng lớn: phân tán càng nhiều quanh giá trị trung bình còn phương sai càng nhỏ: giá trị càng tập trung quanh giá trị trung bình.
• Trong kinh tế, phương sai phản ánh mức độ rủi ro hay độ biến động (kém ổn định).

Hy vọng rằng những kiến thức về bảng phân phối xác suất, tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn đã được làm rõ qua bài viết này. Để tìm hiểu thêm về xác suất thống kê, hãy truy cập Izumi.Edu.VN.

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Tài liệu toán