Cách tính góc giữa 2 vecto cực hay và chi tiết

Có một phần kiến thức Toán phổ thông vô cùng quan trọng là tính góc giữa 2 vecto trong mặt phẳng và không gian. Để giúp các em hiểu sâu hơn về dạng bài này và phát triển kỹ năng giải toán, Imo2007 đã chuẩn bị các công thức tính góc và nhiều dạng bài tập thường gặp để chia sẻ một cách trực quan và dễ hiểu.

Khái niệm góc giữa 2 vecto trong không gian

Trong không gian, định nghĩa góc giữa hai vectơ hoàn toàn tương tự như góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng. Tuy nhiên, khi ít nhất một trong hai vectơ là vectơ không, thì góc giữa chúng không xác định (đôi khi được coi là 0). Nếu cả hai vectơ đều khác vectơ không, ta chuyển về chung gốc.

Bạn đang xem: Cách tính góc giữa 2 vecto cực hay và chi tiết

Từ định nghĩa trên, ta thu được một số tính chất của góc giữa hai vectơ. Ví dụ, góc giữa hai vectơ bằng 0 độ khi và chỉ khi chúng cùng chiều, góc giữa hai vectơ bằng 180 độ khi và chỉ khi chúng ngược chiều, và góc giữa hai vectơ bằng 90 độ khi và chỉ khi chúng vuông góc.

Cách tính góc giữa hai vecto

Góc giữa hai vectơ được xác định là góc nhỏ nhất giữa hai đường thẳng tạo bởi hai vectơ đó khi chúng có cùng gốc xuất phát.

Cách tính góc giữa hai vectơ a và b dựa trên công thức sau:

cos(θ) = (a.b) / (|a|.|b|)

Trong đó:

• |a| và |b| là độ dài (độ lớn) của vectơ a và b tương ứng.
• θ là góc giữa hai vectơ a và b.

Các bước cơ bản để tính góc giữa 2 vecto

Bước 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ a và b bằng cách nhân từng thành phần của chúng và sau đó cộng lại: a.b = axbx + ayby + azbz

Bước 2: Tính độ dài của hai vectơ a và b bằng cách sử dụng công thức sau: |a| = √(ax^2 + ay^2 + az^2) và |b| = √(bx^2 + by^2 + bz^2)

Bước 3: Áp dụng công thức cos(θ) = (a·b) / (|a|·|b|) để tính góc giữa 2 vectơ a và b.

Bước 4: Tính góc θ giữa hai vectơ a và b bằng cách sử dụng công thức θ = acos(cos(θ))

Hay nói ngắn gọn hơn, để tính góc giữa 2 vecto, ta cần thực hiện tính tích vô hướng của hai vectơ và độ dài của từng vectơ. Áp dụng công thức cos(θ) = (a·b) / (|a|·|b|) để tính góc giữa hai vectơ rồi tính góc θ bằng cách sử dụng công thức θ = acos(cos(θ)).

Từ đó ta có thể tính toán góc giữa hai vectơ một cách chính xác.

Ví dụ minh hoạ

Giả sử có hai vectơ a = (2, 3, 4) và b = (1, -1, 2). Để tính góc giữa hai vectơ này, ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ a và b: a·b = 2×1 + 3×(-1) + 4×2 = 2 – 3 + 8 = 7.

Bước 2: Tính độ dài của vectơ a và b: |a| = √(2^2 + 3^2 + 4^2) = √29 và |b| = √(1^2 + (-1)^2 + 2^2) = √6.

Bước 3: Áp dụng công thức cos(θ) = (a·b) / (|a|·|b|) để tính góc giữa hai vectơ a và b: cos(θ) = 7 / (√29 x √6) ≈ 0.725.

Bước 4: Sử dụng công thức θ = acos(cos(θ)) để tính góc θ giữa hai vectơ a và b: θ ≈ acos(0.725) ≈ 43.4 độ.

Từ đó, ta suy ra góc giữa hai vectơ a và b là khoảng 43.4 độ.

Các em biết không? Tính góc giữa hai vectơ là một vấn đề quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học như hình học, vật lý, toán học, kỹ thuật và công nghệ. Hiểu rõ công thức và cách tính góc giữa hai vectơ giúp các em áp dụng vào các bài toán thực tế, tìm ra các giải pháp hiệu quả và giải quyết vấn đề một cách chính xác.

Một số bài tập góc giữa hai vecto để các em tự luyện

Bài 1: Cho hai vectơ a và b có độ dài bằng 1 và thỏa mãn điều kiện|2a + 3b| =√7. Tính góc giữa hai vectơ a, b.

Hướng dẫn giải: Ta có:

|2a + 3b| =√7

<=> (|2a + 3b|)² = (√7)²

<=> 4a² + 12ab + 9b² = 7

Vì a² = |a|² = 1; b² = |b|² = 1 (bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài)

Suy ra: 4.1 + 12ab + 9.1 = 7

<=> 12ab = 7 – 4 – 9

<=> 12ab = -6 <=> ab = -1/2

Do đó cos(a;b) = (a·b) / (|a|·|b|) = (-1/2)/1.1 = -1/2

Vậy góc giữa 2 vecto a và b là 120°

Bài 2:

Cho các vecto a và b thoả mãn |a| = 2, |b| = 1. Tính góc giữa vecto a và vecto c = a – b

Hướng dẫn giải:

Ta có:

c = a – b => c² = (a – b)² = a² – 2ab + b² = |a|² – 2|a|.|b|.cos(a,b) + |b|²

=> c² = 2² – 2.2.1.cos60° + 1² = 3

=> |c| = √3

Ta lại có:

a.c = a.(a – b)

= a² – a.b

= |a|² – |a|.|b|.cos(a,b)

= 2² – 2.1.cos60° = 3

Do đó a.c = |a|.|c|.cos(a,c) <=> 3 = 2.√3.cos(a,c)

=> cos(a,c) = 3/(2√3) = √3 / 2 = 30°

Đó là một số bài tập củng cố kiến thức cũng như cách xác định góc giữa 2 vecto mà Imo2007 muốn gửi đến các em. Các em hãy tự luyện thêm dạng bài tập này trong sách giáo khoa và sách bài tập nhé. Chúc các em học giỏi môn Toán.

Xem thêm: Cách tính thể tích khối chóp đơn giản và hiệu quả

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Công thức