Góc Giữa 2 Mặt Phẳng: Định Nghĩa, Cách Xác Định Và Bài Tập

Góc giữa hai mặt phẳng là một khái niệm quan trọng trong không gian ba chiều. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về góc giữa hai mặt phẳng và cách xác định nó.

Lý thuyết góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian

Góc giữa 2 mặt phẳng là gì?

Góc giữa 2 mặt phẳng là góc được tạo bởi 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng còn được gọi là “góc khối” vì nó là phần không gian bị giới hạn bởi 2 mặt phẳng. Để đo góc giữa 2 mặt phẳng, ta đo góc giữa 2 đường thẳng trên 2 mặt phẳng và chúng cùng trực giao với giao tuyến của 2 mặt phẳng.

Bạn đang xem: Góc Giữa 2 Mặt Phẳng: Định Nghĩa, Cách Xác Định Và Bài Tập

Tính chất của góc giữa 2 mặt phẳng

• Góc giữa 2 mặt phẳng trùng nhau thì bằng 0°.
• Góc giữa 2 mặt phẳng song song thì bằng 0°.

Các cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng không gian

Phương pháp 1: Dựng đường thẳng vuông góc

Với phương pháp này, ta cần dựng một mặt phẳng phụ (R) vuông góc với giao tuyến (c) của hai mặt phẳng (Q) và (P). Đường thẳng (R) giao với (Q) tại điểm (a), giao với (P) tại điểm (b).

Phương pháp 2: Xác định giao tuyến giữa 2 mặt phẳng

Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β), ta thực hiện 2 bước sau:

Bước 1: Tìm 2 điểm chung A, B của mặt phẳng (α) và (β).

Bước 2: Đường thẳng AB chính là giao tuyến cần tìm.

Lưu ý: Để tìm được giao tuyến (AB), cần tìm 2 đường thẳng đồng phẳng mà trong đó (α) và (β) lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng giao điểm.

Cách tính góc giữa 2 mặt phẳng dễ hiểu nhất

Cách 1: Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Với cách tính này, ta sẽ sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lý hàm số sin, cos.

Ví dụ: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = 2a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC), SA = a. Xác định và tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).

Giải:

Pháp tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là:

Từ chân đường vuông góc A, kẻ AH ⊥ BC.

Vì SA ⊥ ABC, SA ⊥ BC ⇒ AH ⊥ BC (SAH) ⇒ AH ⊥ SH.

Vậy ta tìm được 2 đường thẳng SH, AH lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng và vuông góc với BC tại H.

Cách 2: Dựng mặt phẳng phụ

Để tính góc giữa 2 mặt phẳng, ta có thể dựng thêm mặt phẳng phụ. Hãy tham khảo trong ví dụ sau đây:

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, cạnh đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn có đường kính AB = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), và. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).

Giải:

Ta có ABCD là nửa lục giác đều AD = DC = CB = a.

Dựng đường thẳng đi qua điểm A (SCD).

Trong (ABCD), dựng AH ⊥ CD tại H (CDH).

Trong (SCD), dựng APSH ⊥ CD (AP ⊥ SCD).

Tiếp tục dựng đường thẳng đi qua A (SBC).

Trong (SAC), dựng đường AQ ⊥ SC.

Vì BC || AC, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ AQ.

AQ ⊥ (SBC).

=> Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC), (SCD) là góc giữa 2 đường thẳng vuông góc lần lượt với 2 mặt phẳng là AP và AQ.

Ta có SAC vuông cân tại A.

Mặt khác AQP ⊥ P.

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập trọn bộ kiến thức về mặt phẳng không gian một cách khoa học và ngắn gọn nhất.

Các dạng bài tập tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian (có lời giải)

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.

Giải:

Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa (ABC) và (ABD) bằng α. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

Giải:

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và có góc ∠BAD = 60°. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), và SO = 3a/4. Gọi E là trung điểm của BC và F là trung điểm của BE. Tìm góc giữa hai mặt phẳng (SOF) và (SBC).

Giải:

Trên đây là tổng hợp khái niệm và cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng cũng như các dạng bài tập thường gặp. Tuy nhiên, để đạt kết quả tốt nhất, hãy truy cập Izumi.Edu.VN và đăng ký tài khoản để ôn tập kiến thức Toán 12 và giải bài tập mỗi ngày! Chúc bạn thành công trong kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới.

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Kiến thức chung