Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ chi tiết – Toán lớp 10 Cánh diều

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về lý thuyết biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong môn Toán lớp 10. Đây là một phần kiến thức quan trọng giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của các phép toán vectơ. Hãy cùng tìm hiểu nhé!

Biểu thức tọa độ của phép cộng, trừ và nhân số với vectơ

Nếu u→ = (x1 ; y1) và v→ = (x2 ; y2) thì:

Bạn đang xem: Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ chi tiết – Toán lớp 10 Cánh diều

• Phép cộng hai vectơ: u→ + v→ = ( x1 + x2 ; y1 + y2)
• Phép trừ hai vectơ: u→ - v→ = ( x1 - x2 ; y1 - y2)
• Phép nhân một số với vectơ: ku→ = (kx1; ky1) với k ∈ ℝ

Ví dụ: Cho hai vectơ u→ = (- 5 ; 1) và v→ = (2 ; -3). Tìm tọa độ của các vectơ sau:
a) u→ + v→
b) u→ - v→
c) -2v→

Hướng dẫn giải:
a) Ta có: u→ + v→ = (-5 + 2 ; 1 + (-3)) = (-3 ; -2) => u→ + v→ = (-3 ; -2)
b) Ta có: u→ - v→ = (-5 - 2 ; 1 - (-3)) = (-7 ; 4) => u→ - v→ = (-7 ; 4)
c) Ta có: -2v→= (-2.2 ; -2.(-3)) = (-4 ; 6) => -2v→= (-4 ; 6)

Nhận xét: Hai vectơ u→ = (x1 ; y1) và v→ = (x2 ; y2) (u→ ≠ v→) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k sao cho x1 = kx2 và y1 = ky2.

Ví dụ: Hai vectơ u→= (-1 ; 2) và v→ = (4 ; -8) có cùng phương hay không?
Hướng dẫn giải:
Ta thấy 4 = -4.(-1) và -8 = -4.2
Do đó hai vectơ u→ = (-1 ; 2) và v→ = (4 ; -8) cùng phương với nhau.
Vậy hai vectơ u→ = (-1 ; 2) và v→ = (4 ; -8) cùng phương.

Tọa độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm tam giác

• Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Nếu M(xM; yM) là trung điểm của đoạn thẳng AB thì
  xM=xA+xB2 ; yM=yA+yB2.
• Cho tam giác ABC có A(xA ; yA), B(xB ; yB), C(xC ; yC). Nếu G(xG ; yG) là trọng tâm của tam giác ABC thì
  xG=xA+xB+xC3; yG=yA+yB+yC3.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có A(0 ; 3), B(-1 ; -4), C(4 ; -2). Hãy tìm tọa độ trung điểm I của cạnh BC và trọng tâm G của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
Gọi tọa độ trung điểm I của cạnh BC và trọng tâm G của tam giác ABC lần lượt là (xI ; yI) và (xG ; yG).
Khi đó, vì I là trung điểm của BC nên ta có:
xI=xB+xC2=−1+42=32; yI=yB+yC2=(−4)+(−2)2=−3.
Suy ra I(3, -3).
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
xG=xA+xB+xC3=0+(−1)+43=1; yG=yA+yB+yC3=3+(−4)+(−2)3=−1.
Suy ra G(1 ; -1).
Vậy I(3 ; -3) và G(1 ; -1).

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Nếu u→ = (x1; y1) và v→ = (x2; y2) thì u→.v→= x1x2 + y1y2.
Nhận xét:
a) Nếu a→ = (x; y) thì a→=a→.a→=x2+y2.
b) Nếu A(x1; y1) và B(x2; y2) thì AB = AB→ = (x2−x1)2+(y2−y1)2.
c) Với hai vectơ u→ = (x1; y1) và v→ = (x2; y2) đều khác 0→, ta có:

• u→ và v→ vuông góc với nhau khi và chỉ khi x1x2 + y1y2 = 0.
• cos(u→, v→) = u→.v→/u→.v→ = x1.x2+y1y2/x1²+y1².x2²+y2².

Ví dụ: Cho hai vectơ u→ = (3 ; -5) và v→ = (5 ; 3).
a) Tính u→.v→
b) Tính |u→.v→|
c) Tính góc giữa hai vectơ u→ và v→

Hướng dẫn giải:
a) Ta có: u→.v→ = 3.5 + (-5).3 = 0 => u→.v→ = 0
b) Ta có: |u→.v→| = |0| = 0 => |u→.v→| = 0
c) Ta có: cos(, ) = (u→.v→)/(u→.v→) = 0/34 = 0
Suy ra (, ) = 90°.
Vậy u→ và v→ vuông góc với nhau.

Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập tự luận
Bài 1. u→ = (2 ; -2) và v→ = (3 ; 5)
a) Tìm tọa độ của vectơ w→ = u→ + v→
b) Tìm tọa độ của vectơ z→ = -3u→ - 2v→

Hướng dẫn giải:
a) Ta có: w→ = u→ + v→ = (2 + 3; -2 + 5) = (5 ; 3) => w→ = (5; 3)
b) Ta có: z→ = -3u→ - 2v→ = -3(2; -2) - 2(3; 5) = (-6; 6) + (-6; -10) = (-12; -4) => z→ = (-12; -4)

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(0; 4), B(-1; 3), C(-5; 2).
a) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
b) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:
a) Gọi tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là (xI; yI).
Khi đó, vì I là trung điểm của AB nên ta có:
xI=xB+xC2=−1+42=32; yI=yB+yC2=(−4)+(−2)2=−3.
Suy ra I(3, -3).
b) Để chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng ta chứng minh vectơ AB và vectơ AC không cùng phương.
Ta có vectơ AB = (-1 – 0 ; 3 – 4) = (-1 ; -1)
và vectơ AC = (-5 – 0 ; 2 – 4) = (-5 ; -2)
Ta thấy (-1)/(-5) ≠ (-1)/(-2) nên vectơ AB và vectơ AC không cùng phương
Suy ra ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
c) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC lần lượt là (xG ; yG).
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
xG=xA+xB+xC3=0+(−1)+43=1; yG=yA+yB+yC3=3+(−4)+(−2)3=−1.
Suy ra G(1 ; -1).
Vậy G(1 ; -1).

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1 ; 2), B(-2 ; -3), C(0 ; 4).
a) Tính AB. BC
b) Giải tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:
a) Ta có vectơ AB = (-2 – 1 ; -3 – 2) = (-3 ; -5)
và vectơ BC = (0 – (-2) ; 4 – (-3)) = (2 ; 7)
Ta có AB. BC = (-3).(2) + (-5).(7) = -6 - 35 = -41
Vậy AB. BC = -41
b) Ta có vectơ AB = (-3; -5) => AB = √((-3)² + (-5)²) = √(9 + 25) = √34
Cũng tương tự, ta có AB = √((2)² + (7)²) = √(4 + 49) = √53
Ta có cos(ABC) = AB.BC/(|AB|.|BC|) = -41/(√34.√53)
Suy ra ABC ≈ 122°28’
Ta có vectơ AC = (1 – (-2) ; 2 – (-3)) = (3; 5)
Ta có cos(ACB) = AC.BC/(|AC|.|BC|) = 29/(√34.√53)
Suy ra ACB ≈ 15°1’
Mặt khác, ABC = 180° – (ABC + ACB) = 42°31’
Vậy tam giác ABC có AB = √34; AC = √53; BC ≈ 122°28’; ACB ≈ 15°1’; ABC = 42°31’.

B.2 Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho u→ = (- 1; 2), v→ = (5; - 7). Tìm tọa độ của vectơ w→ = u→ + v→.
A. (4; – 5)
B. (3; – 3)
C. (6; 9)
D. (- 5; – 14)

Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: u→ + v→ = (-1 + 5; 2 - 7) = (4 ; -5) => w→ = (4 ; -5)

Câu 2. Trong hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A (2; -3), I(4; 7). Biết I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ điểm B.
A. I (6; 4)
B. I (2; 10)
C. I (6; 17)
D. I (8; – 21)

Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Gọi điểm B có tọa độ (xB ; yB)
Vì I là trung điểm của AB nên ta có :
xB = 2xI - xA = 2.4 - 2 = 6
yB = 2yI - yA = 2.7 - (-3) = 17
Vậy B(6 ; 17)

Câu 3. Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (- 2 + x ; 2), B (3 ; 5 + 2y), C (x ; 3 – y). Tìm tổng 2x + y với x, y để O(0 ; 0) là trọng tâm tam giác ABC?
A. – 7
B. – 2
C. – 11
D. 0

Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:
2x + y = 3.(x + (-2)) + 5.(2y + 5) + (x + 3 - y) = 3x - 6 + 10y + 25 + x + 3 -y = 4x + 10y + 22 - y
Suy ra 2x + y = 4x + 9y + 22 - 8y = 2(x + 4.5 + 11)
Vậy 2x + y = -22

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Tài liệu toán