Nguyên hàm là một trong những chuyên đề cực kỳ quan trọng trong môn Giải tích Toán 12 và thường xuất hiện trong các kì thi đại học. Bạn có biết rằng có những công thức nguyên hàm quan trọng cần nhớ không? Đừng lo, Team Marathon Education sẽ giúp bạn giải đáp và tìm hiểu bảng công thức nguyên hàm từ cơ bản đến nâng cao và cách giải bài tập nguyên hàm phổ biến ngay dưới đây.
Nguyên Hàm Là Gì?
Trước khi đi vào tìm hiểu công thức về nguyên hàm, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm nguyên hàm cùng các tính chất và định lý liên quan.
Bạn đang xem: Cùng Tìm Hiểu Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết
Định Nghĩa Nguyên Hàm
Cho hàm số f(x) xác định trên K, lúc này hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) (với mọi x ∈ K, K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn trên ℝ).
Kí hiệu nguyên hàm của hàm số f(x) là:
Định Lý Nguyên Hàm
Có ba định lý quan trọng về nguyên hàm:
- Định lý 1: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó, với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).
- Định lý 2: Trên K, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số tùy ý.
- Định lý 3: Trên K, tất cả hàm số f(x) liên tục đều có nguyên hàm.
Tính Chất Nguyên Hàm
Ba tính chất cơ bản của nguyên hàm được thể hiện như sau:
Bảng Công Thức Nguyên Hàm
Mỗi dạng nguyên hàm đều có những công thức riêng. Để giúp bạn dễ dàng phân loại, ghi nhớ và áp dụng chính xác, chúng tôi đã tổng hợp thành các bảng dưới đây.
Bảng Công Thức Nguyên Hàm Cơ Bản
Bảng Công Thức Nguyên Hàm Mở Rộng
Bảng Công Thức Nguyên Hàm Nâng Cao
Bảng Nguyên Hàm Hàm Số Lượng Giác
2 Phương Pháp Giải Bài Tập Nguyên Hàm Phổ Biến
Phương Pháp Đổi Biến Số
Đây là phương pháp được sử dụng rất nhiều khi giải nguyên hàm. Vì vậy, bạn cần phải nắm vững phương pháp này để giải các bài toán nguyên hàm nhanh và chính xác hơn.
Phương Pháp Đổi Biến Loại 1:
Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục để f[u(x)] xác định trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:
∫f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C
Cách giải:
Đầu tiên, chọn t = φ(x) và tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt.
Sau đó, biến đổi biểu thức thành: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương Pháp Đổi Biến Loại 2:
Khi đề bài cho hàm số f(x) liên tục trên K và x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là φ'(t). Lúc này:
∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt
Cách giải:
Đầu tiên, chọn x = φ(t) và lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt.
Thực hiện biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương Pháp Nguyên Hàm Từng Phần
Phương Pháp Chung
Định lý: Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:
Cách giải:
Trước hết, chúng ta cần biến đổi tích phân đầu tiên về dạng:
Tiếp theo, đặt:
Lúc này, chúng ta sẽ có:
Tùy thuộc vào từng dạng toán cụ thể, chúng ta áp dụng phương pháp sao cho phù hợp.
Các Dạng Nguyên Hàm Từng Phần Thường Gặp
Dạng 1:
Dạng 2:
Dạng 3:
Bài Tập Về Công Thức Nguyên Hàm
Phần này chúng tôi gửi đến bạn một số bài tập về công thức nguyên hàm để bạn ôn tập và nắm vững kiến thức.
Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
a. Hãy nêu định nghĩa nguyên hàm của hàm số cho trước f(x) trên một khoảng.
b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần là gì? Đưa ra ví dụ minh họa cho cách tính đã nêu.
Hướng dẫn giải bài tập:
a. Xét hàm số y = f(x) xác định trên tập xác định D.
Hàm số Y = F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên D khi Y = F(x) thỏa mãn điều kiện F'(x) = f(x) ∀ x ∈ D.
b.
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần được định nghĩa như sau:
Cho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên D, khi đó ta có công thức:
∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u’(x)dx hay ∫udv = uv – ∫vdv
Ví dụ minh họa: Tính nguyên hàm của hàm số A = ∫xexdx
Lời giải:
Bài 2 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
a. Nêu định nghĩa tích phân hàm số f(x) trên đoạn [a;b]
b. Tính chất của tích phân là gì? Nêu ví dụ cụ thể.
Hướng dẫn giải bài tập:
a. Xét hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], gọi F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a;b]
Khi đó, tích phân cần tìm là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:
b. Tính chất của tích phân:
Bài 3 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
Tìm nguyên hàm của các hàm số đã cho dưới đây:
Hướng dẫn giải bài tập:
a. Ta có:
Suy ra
b. Ta có:
Suy ra:
c. Ta có:
Suy ra:
d. Với bài tập này, bạn có thể làm theo cách giải thông thường là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi áp dụng tính nguyên hàm cho từng hàm nhỏ. Hoặc bạn còn có thể sử dụng cách đặt ẩn phụ để giải tìm nguyên hàm như sau:
Ta có:
Bài 4 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
Tính một số nguyên hàm sau:
Hướng dẫn giải bài tập:
Đề THPT Chuyên KHTN Lần 4
Đề bài:
Cho các số nguyên a và b thỏa mãn
Hãy tính tổng P = a + b
Hướng dẫn giải bài tập:
Đề thi thử Sở Giáo Dục Bình Thuận
Đề bài:
Cho hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x). Khi biết F(3) = 3, hãy tính tích phân:
Hướng dẫn giải bài tập:
Đối với dạng bài nâng cao này, bạn sẽ kết hợp 2 phương pháp là tích phân hàm ẩn (đặt ẩn phụ) và tích phân từng phần.
Qua bài viết này, Team Marathon Education đã chia sẻ đến bạn lý thuyết cơ bản về nguyên hàm, bảng công thức nguyên hàm cần nắm vững. Hy vọng bài viết sẽ giúp bạn ghi nhớ những công thức nguyên hàm này một cách hiệu quả và áp dụng chúng để giải bài tập nhanh chóng.
Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn và học online nâng cao kiến thức nhé! Chúc bạn điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!
Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Công thức
