Góc và khoảng cách trong không gian

Chào bạn! Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về lý thuyết về góc và khoảng cách trong không gian. Đây là những kiến thức quan trọng trong môn toán lớp 12.

Bạn đang xem: Góc và khoảng cách trong không gian

Góc trong không gian

1. Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) được ký hiệu là $((P),(Q))$. Góc này xác định bởi hệ thức $cos((P),(Q)) = frac{{left| {AA’ + BB’ + CC’} right|}}{{sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}} cdot sqrt{{A’^2 + B’^2 + C’^2}}}}$. Đặc biệt, nếu $(P)$ và $(Q)$ song song, ta có hệ thức $(P) bot (Q) Leftrightarrow AA’ + BB’ + CC’ = 0$.

2. Góc giữa hai đường thẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

a) Góc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) có vector chỉ phương $overrightarrow{u} = (a, b, c)$ và $overrightarrow{u’} = (a’, b’, c’)$ là $phi$ với $cosphi = frac{{left| {aa’ + bb’ + cc’} right|}}{{sqrt{{a^2 + b^2 + c^2}} cdot sqrt{{a’^2 + b’^2 + c’^2}}}}$. Đặc biệt, nếu (d) // (d’), ta có hệ thức $aa’ + bb’ + cc’ = 0$.

b) Góc giữa đường thẳng (d) có vector chỉ phương $overrightarrow{u} = (a, b, c)$ và mặt phẳng $(alpha)$ có vector pháp tuyến $overrightarrow{n} = (A, B, C)$ là $phi$ với $sinphi = left| {cos(overrightarrow{n},overrightarrow{u})} right| = frac{{left| {Aa + Bb + Cc} right|}}{{sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}} cdot sqrt{{a^2 + b^2 + c^2}}}}$. Đặc biệt, nếu (d) // ($alpha$) hoặc (d) ⊂ ($alpha$), ta có hệ thức $Aa + Bb + Cc = 0$.

Khoảng cách

1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

a) Khoảng cách từ điểm $M({x_0},{y_0},{z_0})$ đến mặt phẳng $(alpha)$ có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ là $d(M,(alpha)) = frac{{left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} right|}}{{sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}$.

b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng – khoảng cách giữa hai đường thẳng

a) Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d qua điểm Mo có vector chỉ phương $overrightarrow{u}$ là $d(M,d) = frac{{left| {left[ {overrightarrow{{M_0M}},overrightarrow{u}} right]} right|}}{{left| {overrightarrow{u}} right|}}$.

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d đi qua điểm M và có vector chỉ phương $overrightarrow{u}$ và d’ đi qua điểm M’ và có vector chỉ phương $overrightarrow{u’}$ là $d(d,d’) = frac{{left| {left[ {overrightarrow{u},overrightarrow{u’}} right].overrightarrow{{M_0M}} } right|}}{{left| {left[ {overrightarrow{u},overrightarrow{u’}} right]} right|}}$.

d) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng hoặc khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng đến đường thẳng.

Đó là những kiến thức cơ bản về góc và khoảng cách trong không gian mà bạn cần biết. Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này.

Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm, hãy truy cập Izumi.Edu.VN để có thêm nhiều tài liệu và bài tập thực hành hữu ích.

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Công thức