Cùng nhau khám phá tài liệu điểm cao học sinh giỏi Quốc Gia THPT Môn Toán năm 2018

Tìm hiểu về các bài toán trong đề thi học sinh giỏi Quốc gia THPT Môn Toán năm 2018. Cùng với đó là lời giải chi tiết và các nguồn thông tin chính thức đã được sưu tầm bên dưới.

VMO 2018 – Đề thi học sinh giỏi Quốc Gia THPT năm 2018 Môn Toán (Ngày thi thứ nhất và thứ hai)

Nguồn: (https://izumi.edu.vn)

Bạn đang xem: Cùng nhau khám phá tài liệu điểm cao học sinh giỏi Quốc Gia THPT Môn Toán năm 2018

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của một hàm số

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn lim(x->-∞) f(x) = lim(x->+∞) f(x) = 0.
a) Chứng minh rằng tồn tại giá trị lớn nhất của f(x) trên R.
b) Chứng minh rằng tồn tại hai dãy số (x_n) và (y_n) sao cho lim x_n = lim y_n và (x_n) < (y_n), f(x_n) = f(y_n) với mọi n.

Bài 2: Dãy số nguyên

Xét dãy số nguyên (x_n) thỏa mãn x_n+2 = 7x_n+1 – x_n + 280 với mọi n thuộc N.
a) Với x_0 = 2, x_1 = 3, chứng minh rằng tổng các ước số dương của M_n là bội số của 24 với M_n = x_nx_n+1 + x_n+1x_n+2 + x_n+2x_n+3 + 2018.
b) Tìm các cặp (x_0, x_1) sao cho x_nx_n+1 + 2019 là số chính phương với vô số số tự nhiên n.

Bài 3: Tổng bình phương các hệ số của đa thức

Với mỗi đa thức f(x), ký hiệu T(f) là tổng bình phương các hệ số của f(x). Cho P(x) = Π(x + k) với 1 ≤ k ≤ 2020, chứng minh rằng tồn tại 2^2019 đa thức Q_k(x) (1 ≤ k ≤ 2^2019) có các hệ số là số thực dương và có bậc là 2020 sao cho T(Q_k(x)^n) = T(P(x)^n) với mọi n thuộc N*.

Bài 4: Điểm đối xứng và diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn nội tiếp I. Trên các tia AB, AC, BC, BA, CA, CB lần lượt lấy các điểm A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 sao cho AA_1 = AA_2 = BC, BB_1 = BB_2 = AC, CC_1 = CC_2 = AB. Các cặp đường thẳng (B_1B_2, C_1C_2), (C_1C_2, A_1A_2), (B_1B_2, A_1A_2) lần lượt có giao điểm là A’, B’, C’.
a) Chứng minh rằng diện tích tam giác A’B’C’ không vượt quá diện tích tam giác ABC.
b) Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’. Các đường thẳng AJ, BJ, CJ lần lượt cắt các đường thẳng BC, CA, AB tại R, S, T tương ứng. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AST, BTR, CRS cùng đi qua một điểm K. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC không cân thì IHJK là hình bình hành.

Bài 5: Tìm giá trị của hệ số để đa thức có thế thành thương của hai đa thức

Xét đa thức f(x) = x^2 – αx + 1 (α ∈ R).
a) Khi α = sqrt(15)/2, hãy viết f(x) thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.
b) Tìm tất cả các giá trị của α để f(x) viết được thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.

Bài 6: Đường tròn ngoại tiếp và điểm đối xứng

Cho tam giác ABC nhọn và không cân, nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm (H). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB và D, E, F lần lượt là chân các đường cao tương ứng với các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC. Hai đường thẳng DE và MP cắt nhau tại X; hai đường thẳng DF và MN cắt nhau tại Y.
a) Đường thẳng XY cắt cung nhỏ BC của (O) tại Z. Chứng minh rằng bốn điểm K, Z, E, F đồng viên.
b) Hai đường thẳng KE, KF lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai là S và T (khác K). Chứng minh rằng các đường thẳng BS, CT và XY đồng quy.

Bài 7: Đếm số mỗi mảnh giấy

Có một số mảnh giấy hình vuông có cùng kích thước, mỗi mảnh được chia caro thành 5×5 ô vuông ở cả hai mặt. Ta dùng n màu để tô cho các mảnh giấy sao cho mỗi ô của mỗi mảnh giấy được tô cả hai mặt bởi cùng một màu. Hai mảnh giấy được coi là giống nhau nếu có thể xếp chúng khít lên nhau sao cho các cặp ô vuông ở cùng vị trí có cùng màu. Chứng minh rằng không có quá (1/8)(n^25 + 4n^15 + n^13 + 2n^7) mảnh giấy đôi một không giống nhau.

Nguồn: https://izumi.edu.vn

Đó là những bài toán hấp dẫn trong đề thi học sinh giỏi Quốc gia THPT Môn Toán năm 2018. Nếu bạn đang quan tâm và muốn khám phá chi tiết hơn về từng bài toán, hãy truy cập Izumi.Edu.VN để tìm hiểu thêm. Chúc bạn thành công trong việc nghiên cứu và giải quyết các bài toán này!

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Tài liệu toán