Tổng Hợp Kiến Thức Toán 12 Chi Tiết Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao

Trong giai đoạn tập trung ôn toán 12 phục vụ kỳ thi THPT QG này, rất nhiều em học sinh gặp phải tình trạng bỏ sót kiến thức do quá trình tổng hợp không kỹ càng. Đặc biệt, những chương đầu tiên làm nền tảng của chương trình toán lớp 12 lại càng dễ bị thiếu sót kiến thức. Cùng VUIHOC tổng hợp lại toàn bộ kiến thức chương 1 và 2 toán 12 nhé!

Có thể bạn quan tâm

Tổng Hợp Kiến Thức Toán 12 Đại Số – Giải Tích

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Bài 2: Cực trị của hàm số
Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài 4: Đường tiệm cận
Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Bài ôn tập chương I

Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit

Bài 1: Lũy thừa
Bài 2: Hàm số lũy thừa
Bài 3: Lôgarit
Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit
Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit
Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
Bài ôn tập chương II

Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng

Bài 1 : Nguyên hàm
Bài 2 : Tích phân
Bài 3 : Ứng dụng của tích phân trong hình học
Ôn tập chương 3 giải tích 12

Chương 4: Số phức

Bài 1 : Số phức
Bài 2 : Cộng, trừ và nhân số phức
Bài 3 : Phép chia số phức
Bài 4 : Phương trình bậc hai với hệ số thực
Ôn tập chương 4 giải tích 12
Ôn tập cuối năm giải tích 12

Tổng Hợp Kiến Thức Toán 12 – Hình Học

Chương 1: Khối đa diện

Bài 1: Khái niệm về khối đa diện
Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều
Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Ôn tập chương I
Câu hỏi trắc nghiệm chương I

Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Bài 1 : Khái niệm về mặt tròn xoay
Bài 2 : Mặt cầu
Ôn tập chương 2 Hình học 12
Câu hỏi trắc nghiệm chương 2 Hình học 12

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Bài 1 : Hệ tọa độ trong không gian
Bài 2 : Phương trình mặt phẳng
Bài 3 : Phương trình đường thẳng trong không gian
Ôn tập chương 3 Hình học 12
Câu hỏi trắc nghiệm chương 3 Hình học 12
Ôn tập cuối năm Hình học 12

Dạng Bài Tập Toán 12 – Chương 1: Khảo Sát Đồ Thị Hàm Số Bằng Ứng Dụng Đạo Hàm

Bài 1: Hàm số đồng biến nghịch biến – ứng dụng đạo hàm

1. Xét dấu biểu thức P(x) bằng cách lập bảng

Bước 1: Biểu thức P(x) có nghiệm nào? Tìm giá trị x khiến biểu thức P(x) không xác định.
Bước 2: Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
Bước 3: Tìm dấu của P(x) trên từng khoảng bằng cách dùng máy tính.

2. Trên tập xác định, xét tính đơn điệu hàm số

Trong chương trình toán lớp 12, đồng biến nghịch biến của hàm số (hay còn gọi là tính đơn điệu của hàm số) là phần kiến thức rất quen thuộc đối với các bạn học sinh. Các em đã biết hàm số y=f(x) là đồng biến nếu giá trị của x tăng thì giá trị của f(x) hay y tăng; nghịch biến trong trường hợp ngược lại.

Bạn đang xem: Tổng Hợp Kiến Thức Toán 12 Chi Tiết Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao

Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên K ⇔ $forall x_1,x_2 in K$ và $x_1
Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên K ⇔ $forall x_1,x_2 in K$ và $x_1>x_2$ thì $f(x_1)>f(x_2)$.

Hàm số đơn điệu khi thỏa mãn điều kiện đủ sau:

Hàm số f, đạo hàm trên K:
- Nếu f’(x)>0 với mọi $x in K$ thì f đồng biến trên K.
- Nếu f’(x)<0 với mọi $x in K$ thì f nghịch biến trên K.
- Nếu f’(x)=0 với mọi $x in K$ thì f là hàm hằng trên K.

Quy tắc xét đồng biến nghịch biến của hàm số toán lớp 12:

Bước 1: Tìm tập xác định D.
Bước 2: Tính đạo hàm y’=f’(x).
Bước 3: Tìm nghiệm của f’(x) hoặc những giá trị x làm cho f’(x) không xác định.
Bước 4: Lập bảng biến thiên.
Bước 5: Kết luận.

3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y=f(x) đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a;b) cho trước

Cho hàm số y=f(x;m) có tập xác định D, khoảng $(a,b) subset D$:

Hàm số nghịch biến trên $(a,b) Leftrightarrow y’ leq 0,forall x in (a,b)$.
Hàm số đồng biến trên $(a,b) Leftrightarrow y’ geq 0,forall x in (a,b)$.

Lưu ý: Riêng hàm số $frac{a_1x+b_1}{cx+d}$ thì:

Hàm số nghịch biến trên $(a,b) Leftrightarrow y’ < 0,forall x in (a,b)$.
Hàm số đồng biến trên $(a,b) Leftrightarrow y’ > 0,forall x in (a,b)$.

Xem thêm: Cách xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác và bài tập

Đăng ký ngay để được thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dự lộ trình ôn thi sớm ngay từ bây giờ

Banner pas thpt

Bài 2: Cực trị của hàm số

1. Định nghĩa cực trị hàm số

Trong chương trình học, cực trị của hàm số được định nghĩa là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Theo hình học, cực trị hàm số biểu diễn khoảng cách lớn nhất hoặc nhỏ nhất từ điểm này sang điểm kia.

Giả sử hàm số f xác định trên K $(Ksubset R)$ và $x^{0}in K$

Điểm cực đại của hàm số f là $x^{0}$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)subset K$ có $x^{0}$ thỏa mãn $f(x)>f(x{0}),forall x in (a;b)setminus x{0}$

Khi đó, giá trị cực tiểu của hàm số f chính là $f(x_{0})$

2. Phương pháp giải các bài toán cực trị hàm số bậc 3

$y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d (aneq 0)$

Ta có $y’=3ax^{2}+2bx+c$

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình y’=0 có 2 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow b^{2} – 3ac>0$.

3. Giải nhanh bài toán 12 cực trị hàm trùng phương

Cho hàm số $y=4ax^{3}+2bx;y’=0Leftrightarrow x=0;x=frac{-b}{2a}$

C có 3 điểm cực trị y’=0 có 3 nghiệm phân biệt $Leftrightarrow frac{-b}{2a}>0$. Ta có 3 điểm cực trị như sau:

A(0;c), B$(-sqrt{-frac{b}{2a}-frac{Delta }{4a}})$, C$(-sqrt{frac{b}{2a}-frac{Delta }{4a}})$

Với $Delta =b^{2}-4ac$

Độ dài các đoạn thẳng:

AB=AC=$sqrt{frac{b^{4}}{16a^{2}}-frac{b}{2a}},BC=2sqrt{-frac{b}{2a}}$

Xem thêm: Dạng bài tập toán 12 – Các phương pháp giải bài toán cực trị hàm số

Bài 3: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

1. Định nghĩa

Cho hàm số xác định trên D

Số M là giá trị lớn nhất trên D nếu:
Giá trị nhỏ nhất là số m trên D nếu:

2. Các bước tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sử dụng bảng biến thiên

Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)
Bước 2: Tìm các nghiệm của f’(x) và các điểm f’(x) trên K
Bước 3: Xét biến thiên của f(x) trên K bằng bảng biến thiên
Bước 4: Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận min f(x), max f(x)

3. Các bước tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất không sử dụng bảng biến thiên

Với tập K là đoạn [a;b]
Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)
Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm $x{i}in [a;b]$ của phương trình f’(x)=0 và tất cả các điểm $a{i}in [a;b]$ làm cho f’(x) không xác định
Bước 3: Tính f(a), f(b), f(xi), f(ai)
Bước 4: So sánh và kết luận các giá trị tìm được

M=min f(x), m=max f(x)

Với tập K là khoảng (a;b)

Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)
Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm $x{i}in [a;b]$ của phương trình f’(x)=0 và tất cả các nghiệm $a{i}in [a;b]$ làm cho f’(x) không xác định
Bước 3: Tính A=$lim{xrightarrow a^{+}}lim{xrightarrow a^{+}}f(x)$, B=$lim{xrightarrow b^{-}}f(x),f(x{i}),f(a_{i})$
Bước 4: So sánh các giá trị tính được và kết luận M=min f(x), m=max f(x)

Xem thêm: Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số: Lý thuyết và bài tập

Bài 4: Đường tiệm cận

Đồ thị hàm số y=f(x) có tập xác định là D

Đường tiệm cận ngang: Nếu $lim{xrightarrow +infty }f(x)=y{0}$ hoặc $lim{xrightarrow -infty }f(x)=y{0}$ thì đường thẳng y=$y_{0}$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số C
Đường tiệm cận đứng: Nếu $lim{xrightarrow x{0}^{+}}f(x)=pm infty$ hoặc $lim{xrightarrow x{0}^{-}}f(x)=pm infty$ thì đường thẳng x=$x^{0}$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C
Đường tiệm cận xiên:
Điều kiện để tìm đường tiệm cận xiên của C:
$lim{xrightarrow +infty }f(x)=pm infty$ hoặc $lim{xrightarrow -infty }f(x)=pm infty$
Có 2 phương pháp tìm tiệm cận xiên như sau:
Cách 1: Phân tích biểu thức y=f(x) thành dạng $y=f(x)=a(x)+b+varepsilon (x)=0$ thì $y=a(x)+b(aneq 0)$ là đường tiệm cận xiên của C y=f(x)
Cách 2: Tìm a và b bằng công thức sau:
$a=lim{xrightarrow +infty }frac{f(x)}{x}$
$b=lim{xrightarrow +infty }[f(x)-ax]$
Khi đó y=ax+b là phương trình đường tiệm cận xiên của C:y=f(x).