Công thức tính thể tích khối tròn xoay và ví dụ minh họa

Xin chào các bạn đến với Izumi.Edu.VN! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về công thức tính thể tích khối tròn xoay và xem qua một số ví dụ minh họa thú vị. Bắt đầu thôi nào!

Khối tròn xoay là gì?

Khối tròn xoay là một khối hình được tạo bằng cách quay một mặt phẳng quanh một trục cố định. Một số ví dụ phổ biến về khối tròn xoay bao gồm khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay và khối cầu tròn xoay. Bạn đã hiểu rồi chứ? Hãy cùng xem công thức tính thể tích khối tròn xoay nhé!

Bạn đang xem: Công thức tính thể tích khối tròn xoay và ví dụ minh họa

Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox

Nếu khối tròn xoay quanh trục Ox, ta có thể áp dụng các công thức sau:

Trường hợp 1: Khối tròn xoay tạo bởi:

• Đường thẳng y= f(x)
• Trục hoành y=0
• x=a; x=b

Công thức tính thể tích là:

V = π * ∫(a to b) f^2(x) dx

Trường hợp 2: Khối tròn xoay được tạo bởi:

• Đường thẳng y= f(x)
• Đường thẳng y= g(x)
• x=a; x=b

Công thức tính thể tích khối tròn xoay sẽ là:

V = π * ∫(a to b) (f(x)^2 - g(x)^2) dx

Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy

Nếu khối tròn xoay quanh trục Oy, ta có thể áp dụng các công thức sau:

Trường hợp 1: Khối tròn xoay được tạo bởi:

• Đường x=g(y)
• Trục tung (x=0)
• y=c; y=d

Công thức tính thể tích khối tròn xoay sẽ là:

V = π * ∫(c to d) g^2(y) dy

Trường hợp 2: Khối tròn xoay được tạo bởi:

• Đường x=f(y)
• Đường x=g(y)
• y=c; y=d

Công thức tính thể tích khối tròn xoay sẽ là:

V = π * ∫(c to d) (f^2(y) - g^2(y)) dy

Bảng tóm tắt công thức tính thể tích khối tròn xoay

Để giúp các bạn nắm vững công thức tính thể tích khối tròn xoay, dưới đây là một bảng tóm tắt:

1. Vx sinh bởi diện tích S quay xung quanh Ox:

2. Vx sinh bởi diện tích S quay xung quanh Oy:

Ví dụ về tính thể tích khối tròn xoay

Ví dụ 1:
Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = sinx, trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=π (hình vẽ) quanh trục Ox.

Lời giải:
Áp dụng công thức ở định lý trên ta có…

Ví dụ 2:
Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong và trục hoành quanh trục hoành.

Giải:
Ta thấy…

Ví dụ 3:
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 1, biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0≤x≤1) là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và ln(x^2+1).

Giải:
Do thiết diện là hình chữ nhật nên diện tích thiết diện là…

Ví dụ 4:
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x; y = x; x = 0; x = 1 quay xung quanh trục Ox. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành.

Giải:
Tọa độ giao điểm của đường x = 1 với y = x và y = 3x là các điểm C(1;1) và B(3;1). Tọa độ giao điểm của đường y = 3x với y = x là O(0;0).

Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là…

Ví dụ 5:
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x^2; y^2 = 4x quay xung quanh trục Ox. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành.

Giải:
Với thì tương đương …

Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là…

Với những bài toán yêu cầu tính thể tích khối tròn xoay, bạn chỉ cần sử dụng đúng công thức cho từng trường hợp và lưu ý khi xác định cận là có thể giải được. Chúc các bạn thành công.

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Công thức