Chào các bạn! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về lý thuyết nhị thức niu tơn và các dạng toán liên quan. Đây là một lý thuyết toán học quan trọng và cung cấp cho chúng ta nhiều ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán. Hãy cùng tìm hiểu chi tiết nào!
1. Lý thuyết nhị thức niu tơn
1.1. Định lý khai triển nhị thức niu tơn
Trong chương trình toán giải tích lớp 11, chúng ta đã học về định lý khai triển nhị thức niu tơn, một định lý toán học quan trọng về việc khai triển hàm mũ của tổng. Định lý khai triển một nhị thức bậc n thành một đa thức có n+1 số hạng.
Bạn đang xem: Lý Thuyết Nhị Thức Niu Tơn Kèm Các Dạng Toán Có Đáp Án
Công thức khai triển nhị thức niu tơn có dạng như sau:
Trong đó, 
là số tổ hợp chập k của n phần tử. Đây là một thông tin rất quan trọng trong việc tính toán các bài toán liên quan đến nhị thức niu tơn.
1.2. Công thức nhị thức niu tơn
1.2.1. Định lý
Với cặp số (a,b), chúng ta có:
…
Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán vững vàng.
2. Các dạng toán nhị thức niu tơn
2.1. Cách tìm hệ số trong khai triển và tìm số hạng trong khai triển
Trong các dạng toán này, chúng ta sử dụng số hạng tổng quát (số hạng thứ k+1) của khai triển. Sau đó, chúng ta biến đổi để tách riêng phần biến và phần hệ số, kết hợp với đề bài để xác định chỉ số k. Cần lưu ý rằng số hạng gồm hệ số và phần biến.
2.1.1. Ví dụ nhị thức niu tơn với cách tìm hệ số trong khai triển
VD1: Hệ số của 
là bao nhiêu?
Lời giải:
Hệ số của là với k thỏa mãn điều kiện ⇔ k=37.
Vậy hệ số của là …
2.1.2. Ví dụ về cách tìm số hạng trong khai triển
VD1: Tìm số hạng không có x trong khai triển của nhị thức sau: …
Lời giải:
Số hạng tổng quát trong khai triển là …
Số hạng không có x ứng với k thỏa mãn …
…
2.2. Rút gọn đẳng thức, chứng minh biểu thức
Phương pháp:
- Nhận xét bài toán và chọn hàm số phù hợp với tổng đẳng thức, bất đẳng thức.
- Khai triển nhị thức và sử dụng các phép biến đổi đại số, giải tích để có được dạng phù hợp với đề bài.
- Chọn giá trị của x cho phù hợp để có được biểu thức như yêu cầu của bài toán.
2.2.1. Ví dụ về rút gọn đẳng thức
VD1: Tính tổng: …
Lời giải:
Theo công thức nhị thức Niu tơn lớp 11, với a = 1, b = -2 ta được: …
VD2: Rút gọn biểu thức sau: …
Lời giải:
a) Ta có: …
Ta lấy đạo hàm bậc hai theo x cả hai vế của phương trình (1) ta được: …
Thay x = 1 vào phương trình (2) ta được: …
…
2.2.2. Ví dụ chứng minh biểu thức
VD1: Chứng minh rằng: …
Lời giải: …
Cho n = 2001 và x = 3 ta được: …
Cho n = 2001 và x = -3 ta được: …
(1) + (2) vế theo vế ta được: …
Điều phải chứng minh.
VD2: Chứng minh rằng: …
Lời giải: …
Ta có: …
Và …
Ta lấy phương trình (1) + (2) ta được: …
Lấy (1) – (2) ta được …
Vậy …
2.3. Giải phương trình, bất phương trình chỉnh hợp tổ hợp
Đối với dạng bài này, chúng ta sử dụng các công thức tính số hoán vị, tổ hợp chỉnh hợp để biến đổi phương trình, sau đó kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.
VD1: Tìm n biết …
Lời giải: …
Điều kiện …
Giả thiết tương đương với: …
…
VD2: Cho khai triển. Tìm số nguyên dương n biết.
Lời giải: …
Áp dụng công thức khai triển niu tơn ta có: …
Từ đó, ta có hệ số của là …
Theo giả thiết đã cho của đề bài ta có: …
…
VD3: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: …
Lời giải: …
Đặt: …
Từ đó ta suy ra được: …
Nhận ngay bí kíp trọn bộ phương pháp giải mọi dạng bài trong đề thi Toán THPT Quốc Gia ngay.
Trên đây là toàn bộ lý thuyết và các dạng bài tập của hệ thức nhị thức niu tơn trong chương trình Toán 11. Để đạt được kết quả cao, các bạn học sinh cần làm thêm nhiều dạng bài khác nữa. Hy vọng với bài viết này, các em học sinh có thể giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao và ôn thi THPT Quốc gia môn Toán một cách thành thục.
Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Công thức
