Cách Tính Tích Phân Hàm Lượng Giác Chi Tiết Và Bài Tập

Chào các bạn! Hôm nay mình sẽ giới thiệu với các bạn về cách tính tích phân hàm lượng giác chi tiết và giải một số bài tập thú vị. Cùng khám phá nhé!

1. Các dạng tích phân hàm lượng giác và cách tính

1.1. Dạng 1: Biến đổi lượng giác

Để giải các bài tập thuộc dạng này, chúng ta sử dụng bảng công thức biến đổi tích phân hàm lượng giác sau:

Bạn đang xem: Cách Tính Tích Phân Hàm Lượng Giác Chi Tiết Và Bài Tập

Ví dụ 1: Tính tích phân $int sin3x.cos5x.dx$

Giải:

Ta có:

$int sin3x.cos5x.dx=frac{1}{2}int (sin8x-sin2x)dx$ $=-frac{1}{6}cos8x+frac{1}{4}cos2x+C$

Ví dụ 2: Tính tích phân $int frac{1}{4cos^{4}x-4cos^{2}x+1}dx$

Giải:

Ta có:

$int frac{1}{4cos^{4}x-4cos^{2}x+1}dx=int frac{1}{(2cos^{2}x-1)^{2}}dx$ $=int frac{1}{cos^{2}2x}dx=tan2x+C$

Ví dụ 3: Tính I=$int cot^{2}xdx$

Giải:

Ta có:

I=$int cot^{2}xdx=int (cot^{2}x+1-1)dx$ $=int (cot^{2}x+1)dx-int 1dx=-cotx-x+C$

1.2. Dạng 2: Đổi biến số dạng 1

Đối với dạng này, chúng ta sử dụng công thức:

I=$int{b}^{a}fleft [ u(x) right ].u'(x)dx=int{u(b)}^{u(a)}f(u)du$

Bảng dấu hiệu nhận biết và cách tính tích phân hàm lượng giác được thể hiện như sau:

Ví dụ 1: Tính tích phân $int_{0}^{frac{pi }{2}}sin^{2}xcosxdx$

Giải:

Đặt u= sinx => du= cosx.dx

Đổi cận: x=0 => u(0)= 0; $x=frac{pi }{2}=>u(frac{pi }{2})=1$

Khi đó: I= =$int{0}^{frac{pi }{2}}sin^{2}xcosxdx=int{0}^{1}u^{2}du=frac{1}{3}$

Ví dụ 2: Tính tích phân I=$int_{0}^{frac{pi }{2}+2}sin(x-2)dx$

Giải:

Đặt t= x-2 => dt= dx

Đổi cận: x= $frac{pi }{2}+2$ hoặc x=2

I=$int{0}^{frac{pi }{2}}sin(x-2)dx=int{0}^{frac{pi }{2}}sint.dt=1$

Ví dụ 3: Tính tích phân I=$int_{0}^{frac{pi }{6}}frac{dx}{cosx(sinx-cosx)}$

Giải

I=$int{0}^{frac{pi }{6}}frac{dx}{cosx(sinx-cosx)}=int{0}^{frac{pi }{6}}frac{dx}{cos^{2}x(tanx-1)}$

Đặt t= tanx => dt= $frac{dx}{cos^{2}x}$

Đổi cận: x=$frac{pi }{6}=>t=frac{pi }{sqrt{3}}$ hoặc x=0 => t=0

=> I= $int_{0}^{frac{1}{sqrt{3}}}frac{dt}{t-1}=lnfrac{3-sqrt{3}}{3}$

1.3. Dạng 3: Đổi biến số dạng 2

Trong dạng này, chúng ta có công thức sau:

I=$int{a}^{b}f(x)dx=int{alpha }^{beta }f(psi (t)).psi(t)du$

Ví dụ 1: Tính I=$int_{0}^{frac{pi }{4}}frac{dx}{sqrt[3]{sin^{5}x.cosx}}$

Giải:

I=$int_{0}^{frac{pi }{4}}frac{dx}{sqrt[3]{sin^{5}x.cosx}}$

<=> I=$int{0}^{frac{pi }{4}}frac{1}{sqrt[3]{frac{sinx}{cosx}5}}.frac{dx}{cos^{2}x}$ $=int{0}^{frac{pi }{4}}(tan)^{-frac{5}{3}}.frac{dx}{cos^{2}x}$

Đặt t= tanx => dx= $frac{dx}{cos^{2}x}$

Đổi cận: x=$frac{pi }{4}$ => t=1 hoặc x=0 => t=0

I=$int_{0}^{frac{pi }{4}}frac{-5}{t^{3}}dt=frac{-3}{2}$

Ví dụ 2: Tính tích phân I=$int_{0}^{frac{pi }{6}}frac{dx}{cosx(sinx-cosx)}$

Giải:

I=$int_{0}^{frac{pi }{6}}frac{dx}{cosx(sinx-cosx)}$

=$int_{0}^{frac{pi }{6}}frac{dx}{cos^{2}x(tanx-1)}$

Đặt: t= tanx => dx= $frac{dx}{cos^{2}x}$

Đổi cận: x=$frac{pi }{6}=>t=frac{pi }{sqrt{3}}$ hoặc x=0 => t=0

=> I= $int_{0}^{frac{pi }{sqrt{3}}}frac{dx}{t-1}=lnfrac{3-sqrt{3}}{3}$

Ví dụ 3: Tính tích phân I=$int_{frac{pi }{2}}^{frac{pi }{2}}frac{dx}{sinx}$

Giải:

I=$int_{frac{pi }{2}}^{frac{pi }{2}}frac{dx}{sinx}$

=$int_{frac{pi }{2}}^{frac{pi }{2}}frac{dx}{2sinfrac{x}{2}.cosfrac{x}{2}}$

Đặt t=$tanfrac{x}{2}$ => dx=$frac{1}{2}.frac{dx}{cos^{2}x}$

Đổi cận: x=$frac{pi }{2}=>t=1$ hoặc x=$frac{pi }{2}=>t=frac{1}{sqrt{3}}$

=> I=$int_{frac{1}{sqrt{3}}}^{1}frac{dt}{t}=lnsqrt{3}$

1.4. Dạng 4: Tích phân từng phần

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên [a;b] thì ta có tích phân từng phần như sau:

$int{a}^{b}u(x)v’dx=u(x)v(x)|begin{matrix}b aend{matrix}-int{a}^{b}u'(x)v(x)dx$

Ví dụ 1: Tính tích phân I=$int_{0}^{1}(1-x)e^{x}dx$

Giải:

Đặt u=1-x; du=$e^{x}dx$

Ta có: du=-dx; v=$e^{x}$

=> I=$left ( 1-x right )e^{x}|begin{matrix}1 0end{matrix}+int_{0}^{1}e^{x}dx$

=$left ( 1-x right )e^{x}|begin{matrix}1 0end{matrix}+e^{x}|begin{matrix}1 0end{matrix}$

Vậy I= e – 2

Ví dụ 2: Tính tích phân I=$int_{0}^{2}frac{lnx}{x^{2}}dx$

Giải:

Đặt u= Inx; dv=$frac{dx}{x^{3}}$

Ta có: du=$frac{dx}{x}$, chọn v=$-frac{1}{2x^{2}}$

I=$-frac{ln}{2x^{2}}|begin{matrix}2 1end{matrix}+int_{1}^{2}frac{dx}{x^{3}}$

$=-frac{ln2}{8}-frac{1}{4x^{2}}|begin{matrix}2 1end{matrix}=frac{3-2ln2}{16}$

Ví dụ 3: Tính tích phân I=$int_{2}^{1}frac{lnx}{x^{2}}dx$

Giải:

Đặt u=Inx; dv=(4x+3)dx

du=$frac{1}{x}dx$ và v=$2x^{2}+3x$

Khi đó I=$(2x+3x)lnx|begin{matrix}2 1end{matrix}+int_{1}^{2}frac{2x+3x}{x}dx$ $=14ln2-0-x^{2}+3x|begin{matrix}2 1end{matrix}$ $=14ln2-(10-4)=14ln2-6$

2. Một số bài tập tính tích phân lượng giác và phương pháp giải chi tiết

Dưới đây là một số bài tập tích phân lượng giác mà chúng ta có thể thực hành:

Hy vọng rằng bài viết này đã giúp các bạn hiểu rõ hơn về cách tính tích phân hàm lượng giác. Nếu muốn luyện tập thêm và ôn thi THPT Quốc Gia, bạn có thể truy cập vào trang web Izumi.Edu.VN để thực hiện các bài tập khác. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia 2022 sắp tới.

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Công thức