Bất đẳng thức trong Giải toán – 8 ví dụ thú vị

Ẩn sau những biểu đồ và phương trình phức tạp, các bất đẳng thức luôn tồn tại và được áp dụng trong giải toán hàng ngày. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng khám phá một số bất đẳng thức cơ bản và giải đáp các câu hỏi thú vị trong giải toán.

Bất đẳng thức có được từ hằng đẳng thức dạng ${(a-b)}^{2} ge 0$

• $a^2 + b^2 ge 2ab Leftrightarrow left(frac{a+b}{2}right)^2 le frac{1}{2}(a^2 + b^2) le frac{1}{2}(a+b)^2$. Bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.

  Bạn đang xem: Bất đẳng thức trong Giải toán – 8 ví dụ thú vị

• $a^2 + b^2 + c^2 ge ab + bc + ca$. Bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

• $a^2 + b^2 + c^2 ge frac{1}{3}(a+b+c)^2$. Bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

• $(a+b+c)^2 ge 3(ab+bc+ca)$. Bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

Bất đẳng thức với hai căn thức cơ bản

• $sqrt{a}+sqrt{b} ge sqrt{a+b}$. Bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=0$ hoặc $b=0$.

• $sqrt{a}+sqrt{b} le sqrt{2(a+b)}$. Bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=4(x^2+y^2)+15xy$ trong phương trình $x+y=2(sqrt{x-3}+sqrt{y+3})$

Giải: Ta có $x+y=2(sqrt{x-3}+sqrt{y+3}) ge 2sqrt{(x-3)+(y+3)} = 2sqrt{x+y}$. Suy ra $x+y=0$ hoặc $x+y ge 4$.

Và $x+y=2(sqrt{x-3}+sqrt{y+3}) le 2sqrt{(1+1)(x-3+y+3)} = 2sqrt{2(x+y)} Rightarrow x+y le 8$.

• Nếu $x+y=0 Rightarrow x=3, y=-3 Rightarrow P=-63$.

• Nếu $x+y in [4,8]$, xuất phát từ điều kiện xác định căn thức ta có: $[(x-3)(y+3) ge 0 Rightarrow xy ge 3(y-x)+9]$.

Suy ra $P = 4({x^2} + {y^2}) + 15xy = 4{(x + y)^2} + 7xy ge 4{(x + y)^2} + 7[3(y – x) + 9] = left[ {4{{(x + y)}^2} – 21(x + y)} right] + left( {42y + 63} right) ge left( {{{4.4}^2} – 21.4} right) + left( {42.( – 3) + 63} right) = – 83$.

Dấu bằng đạt tại $x=7, y=-3$. Như vậy, giá trị nhỏ nhất của $P$ là $-83$.

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Biểu mẫu