Chuyên đề: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

Chào mừng các bạn đến với bài viết mới nhất trên trang Izumi.Edu.VN! Hôm nay chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về biểu diễn hình học của số phức và tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ. Điều này sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các bài toán liên quan đến số phức.

Kiến thức cơ bản

Biểu diễn hình học của số phức z = a + bi (a, b được biểu diễn bởi điểm M(a, b) trong mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt phẳng phức). Trên mặt phẳng phức, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thỏa mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ thức liên quan đến môđun của số phức). Khi đó ta giải bài toán này như sau:

Bạn đang xem: Chuyên đề: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

Giả sử z = x + yi (x, y ∈ R). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x, y). Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M.

Kĩ năng cơ bản

Tìm điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước:

• Số phức z = a + bi (a, b ) được biểu diễn bởi M(a, b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức.
• Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo.
• Số phức z = a + bi (a, b ) cũng được biểu diễn bởi vectơ u = (a, b), do đó M(a, b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b ∈ R) cũng có nghĩa là OM biểu diễn số phức đó.
• Ta có: Nếu u, v theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’ thì
  • u + v biểu diễn số phức z + z’,
  • u – v biểu diễn số phức z – z’,
  • ku (k ∈ R) biểu diễn số phức kz,
  • |OM| = |u| = |z|, với M là điểm biểu diễn của z.

Bài tập luyện tập

Bài 1: Tìm điểm biểu diễn của số phức z biết:
a) Điểm biểu diễn số phức z = 2 – 3i có tọa độ là (2, -3).
b) Điểm biểu diễn số phức z = -2i có tọa độ là (0, -2).
c) Cho số phức z = 6 + 7i. Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là (6, -7).
d) Điểm biểu diễn của số phức z = 1/(2 – 3i) là (2/13, 3/13).
e) Cho số phức z = 2016 – 2017i. Số phức đối của z là -Z = -2016 + 2017i có điểm biểu diễn là (-2016, 2017).
f) Cho số phức z = 2017 – 2018i. Số phức liên hợp z = 2017 + 2018i có điểm biểu diễn là điểm có tọa độ (2017, 2018).
g) Điểm biểu diễn số phức z = (2 – 3i)(4 – i)/(3 + 2i) = -1 – 4i có tọa độ là (-1, -4).
h) Trong mặt phẳng Oxy, điểm biểu diễn của số phức z = i^2016/(1 + 2i)^2 là điểm nào? z = i^2018/(1 + 2i)^2 = i^4.504/(-3 + 4i) = i^2/(-3 + 4i) = -1/(-3 + 4i) = 3/25 + 4/25i. Điểm biểu diễn của số phức z = i^2016/(1 + 2i)^2 là (3/25, 4/25).

Bài 2: Cho số phức z = 1 + 3i và số phức z’ = 2 + i. Hãy:
a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mặt phức. Biểu diễn số phức z = 1 + 3i là điểm M(1, 3). Biểu diễn số phức z’ = 2 + i là điểm M'(2, 1).
b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mặt phức. z + z’ = 3 + 4i, biểu diễn trên mặt phức bởi P(3, 4). z’ – z = 1 – 2i, biểu diễn trên mặt phức bởi Q(1, -2).

Bài 3: Tập hợp số phức z trên hệ tọa độ phức mà thỏa mãn |z + 1 – i| = |z – 1 + 2i|
Giả sử z = a + bi (a, b ∈ R). Ta có
(|z + 1 – i| = |z – 1 + 2i| ⇔ |(a + 1) + (b – 1)i| = |(a – 1) + (b + 2)i|)
(⇔ (a + 1)^2 + (b – 1)^2 = (a – 1)^2 + (b + 2)^2)
(⇔ 4a – 6b – 3 = 0)
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 4x – 6y – 3 = 0

Bài 4: Tập hợp số phức z trên hệ tọa độ phức mà thỏa mãn |z + 3i−2| = 10
Mỗi số phức z = x + yi được biểu diễn bởi một điểm (x, y). Do đó ta có tập số phức z thỏa mãn là: |x + 3i + yi − 2| = 10 ⇔ (x−2)^2 + (y+3)^2 = 100 là đường tròn Tâm I(2, -3), bán kính R=10

Bài 5: Tập hợp số phức z trên hệ tọa độ phức mà thỏa mãn |z – 3i| + |i|·|z + 3| = 10
Gọi z = x + yi
Theo bài ra ta có √(x^2 + (y-3)^2) + √((y+3)^2 + x^2) = 10
⇒ √(x^2 + (x-3)^2) + √((y+3)^2 + x^2) = 10
⇒ x^2 + (y-3)^2 = 100 + (y+3)^2 + x^2 – 20√((y+3)^2 + x^2)
⇒ 10√((y+3)^2 + x^2) = 50 + 6y
⇒ 25x^2 + 16y^2 = 400
Tập hợp các điểm trong mp tọa độ Oxy biểu diễn số phức bài ra là Elip có phương trình (E): (x^2/16) + (y^2/25) = 1

Bài 6: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho u = (z + 2 + 3i)/(z – i) là một số thuần ảo.
Giải: Đặt z = x + yi (x, y ∈ R), khi đó:
u = (x + 2 + (y + 3)i)/(x + (y – 1)i) = ((x + 2) + (y + 3)i)/(x + (y – 1)i)
= ([(x + 2) + (y + 3)i] × [x – (y – 1)i])/(x^2 + (y – 1)^2)
= ((x^2 + y^2 + 2x + 2y – 3) + 2(x – y – 1)i)/(x^2 + (y – 1)^2)
u là số thuần ảo khi và chỉ khi
{(x^2 + y^2 + 2x + 2y – 3) = 0, (x^2 + (y – 1)^2) > 0}
⇔ {(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 5, (x; y) ≠ (0; 1)}
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(-1, -1), bán kính r = sqrt(5) trừ điểm (0, 1)

Bài 7: Trong mặt phẳng 0xy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn |z – 2 – 4i| = |z – 2i|
Giải: Đặt z = a + bi (a, b ∈ R)
Ta có: |a – 2 + (b – 4)i| = |a + (b – 2)i| (1)
⇔ (a – 2)^2 + (b – 4)^2 = (a – 2)^2 + (b – 2)^2
⇔ 2a + 2b = 8
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 2x + 2y = 8

Câu 1: (Đề thi chính thức THPT QG năm 2017) Cho số phức (z = 1 – 2i). Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ?
A. Q(1, 2)
B. N(2, 1)
C. M(1, -2)
D. P(-2, 1)
Câu 2: (Vận dụng) Cho số phức z thỏa mãn |z – 3 + 4i| ≤ 2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2z + 1 – i là hình tròn có diện tích
A. S = 9π
B. S = 12π
C. S = 16π
D. S = 25π

Câu 3: Điểm biểu diễn hình học của số phức z = a + ai nằm trên đường thẳng:
A. y = x
B. y = 2x
C. y = -x
D. y = -2x

Câu 4: Gọi A là điểm biểu diễn của số phức 5 + 8i và B là điểm biểu diễn của số phức -5 + 8i. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành.
B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung.
C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O.
D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Câu 5: Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 5i và B là điểm biểu diễn của số phức z’ = -2 + 5i. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành.
B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung.
C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O.
D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

Câu 6: Điểm M biểu diễn số phức z = (3 + 4i)/i^2019 có tọa độ là
A. M(4, -3)
B. M(3, -4)
C. M(3, 4)
D. M(-4, 3)

Câu 7: Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = -1 + 3i, z2 = 1 + 5i, z3 = 4 + i. Số phức với điểm biểu diễn D sao cho tứ giác ABCD là một hình bình hành là:
A. 2 + 3i
B. 2 – i
C. 2 + 3i
D. 3 + 5i

Câu 8: Gọi z1 và z2 là các nghiệm phức của phương trình z^2 – 4z + 9 = 0. Gọi M, N là các điểm biểu diễn của z1 và z2 trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài của MN là:
A. MN = 4
B. MN = 5
C. MN = -2√5
D. MN = 2√5

Câu 9: Gọi z1 và z2 là các nghiệm của phương trình z^2 – 4z + 9 = 0. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn của z1, z2 và số phức k = x + yi trên mặt phẳng phức. Khi đó tập hợp điểm P trên mặt phẳng phức để tam giác MNP vuông tại P là:
A. đường thẳng có phương trình y = x – √5.
B. là đường tròn có phương trình x^2 – 2x + y^2 – 8 = 0.
C. là đường tròn có phương trình x^2 – 2x + y^2 – 8 = 0, nhưng không chứa M, N.
D. là đường tròn có phương trình x^2 – 4x + y^2 – 1 = 0 nhưng không chứa M, N.

Câu 10: Biết |z – i| = |(1 + i)z|, tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phương trình
A. x^2 + y^2 + 2y + 1 = 0
B. x^2 + y^2 – 2y + 1 = 0
C. x^2 + y^2 + 2y – 1 = 0
D. x^2y^2 – 2y – 1 = 0

Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z – 1| = |(1 + i)z| là:
A. Đường tròn có tâm I(0, -1), bán kính r = √2
B. Đường tròn có tâm I(0, 1), bán kính r = √2
C. Đường tròn có tâm I(1, 0), bán kính r = √2
D. Đường tròn có tâm I(-1, 0), bán kính r = √2

Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |2 + z| = |i – z| là:
A. Đường thẳng có phương trình 4x + 2y + 3 = 0
B. Đường thẳng có phương trình 4x – 2y + 3 = 0
C. Đường thẳng có phương trình -4x + 2y + 3 = 0
D. Đường thẳng có phương trình 4x + 2y – 3 = 0

Câu 13: Gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = 7 – 3i, z2 = 8 + 4i, z3 = 1 + 5i, z4 = -2i. Tứ giác ABCD là
A. là hình vuông.
B. là hình thoi.
C. là hình chữ nhật.
D. là hình bình hành.

Câu 14: Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = -1 + 3i, z2 = -3 – 2i, z3 = 4 + i. Chọn mệnh đề sai:
A. Tam giác ABC vuông cân.
B. Tam giác ABC cân.
C. Tam giác ABC vuông.
D. Tam giác ABC đều.

Câu 15: Tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn |z – i| + |i – |z + 3| = 10 có dạng là
A. (x^2/4) + (y^2/3) = 1.
B. (x^2/16) + (y^2/9) = 1.
C. (x^2/16) – (y^2/9) = 1.
D. (x^2/4) – (y^2/3) = 1.

Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z = -2i. Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w = (3 – 4i)z – 1 + 2i là đường tròn I, bán kính R. Khi đó.
A. I(-1, -2), R = √5.
B. I(1, 2), R = √5.
C. I(-1, 2), R = 5.
D. I(1, -2), R = 5.

Câu 17: Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ:
Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức ζ = i/ẋ overline{z}?
A. B
C. D

Câu 18: Trong các số phức z thỏa |z + 3 + 4i| = 2, gọi z0 là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó
A. Không tồn tại số phức z0.
B. |z0| = 2
C. |z0| = 7
D. |z0| = 3

Câu 19: Tính S = 1009 + i + 2i^2 + 3i^3 + … + 2017i^2017.
A. S = 2017 – 1009i.
B. S = 1009 + 2017i.
C. S = 2017 + 1009i.
D. S = 1008 + 1009i.

Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện. Tìm giá trị lớn nhất của T = |z + i| + |z – 2 – i|.
A. max T = 8√2
B. max T = 4
C. max T = 4√2
D. max T = 8

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Tài liệu toán