Tìm hiểu về cấp số nhân và công bội

Cấp số nhân là gì? Công bội là gì?

Cấp số nhân là một dãy số vô hạn hoặc hữu hạn thoả mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai được gọi là cấp số nhân. Mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước ngay nó nhân với một số hạng không đổi. Số hạng không đổi này được gọi là công bội của cấp số nhân.

Cách tính công bội của cấp số nhân

Công bội q của cấp số nhân (U1) được tính bằng công thức: q = (Un+1) / Un.

Bạn đang xem: Tìm hiểu về cấp số nhân và công bội

Ví dụ: Cho cấp số nhân (Un) có (U1) = 4 và (U2) = 8. Tính công bội q?

Trả lời: Công bội q = 8/4 = 2.

Tính chất của cấp số nhân

Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó.

Ví dụ: Cho bốn số a, 10, 20, b theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tìm a và b?

Trả lời: Ta có: 10^2 = a.20 <=> 20 = a.20 <=> a = 1. 20^2 = 5.b <=> 40 = 5.b <=> b = 6.

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Cho cấp số nhân (Un) có công bội q khác 1, ta có: Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un.

Ví dụ: Cho cấp số nhân (Un) với (u1) = 6 và q = 3. Tính S10?

Trả lời: Ta có: S10 = u1( 1- q^10)/ (1 – q) = 6( 1 – 3^10 )/ (1-3) = 6( 3^10 -1)/ 2.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (Un) có công bội q với công bội q thoả mãn điều kiện 1 < q < 1 thì được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng: S = u1/ (1 – q).

Ví dụ: Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn (Un), có Un = 1/3^n.

Trả lời: Ta có: u1 = 1/2 và u2 = 1/9 => công bội q = 1/3.

Kết luận: S = u1/ (1 – q) = 1/3 : ( 1 – 1/3) = 1/2.

Các dạng bài tập toán của cấp số nhân

Dạng 1: Nhận biết cấp số nhân

Với phương pháp giải, ta tính công bội q bằng công thức: q = (Un + 1)/ Un (điều kiện ∀ n ≥ 1).

Nếu q là số không đổi, thì dãy (Un) là cấp số nhân. Nếu q thay đổi theo n, thì dãy (Un) không là cấp số nhân.

Ví dụ: Cho cấp số nhân (Un) có số hạng đầu tiên u1 = 8, công bội q = 3. Tìm số hạng thứ 2?

Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức cấp số nhân Un + 1 = u1.q. Thay u1 = 8 và q = 3 vào công thức trên, ta có: u2 = 8.3 = 24.

Kết luận: Đáp án A. 24 là đúng.

Dạng 2: Chứng minh cấp số nhân

Với phương pháp giải, ta sử dụng tính chất: Ba số hạng uk – 1 ; uk ; uk + 1 là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân <=>.

Ví dụ 1: Tìm a và b sao cho các số 5a – b; 2a + 3b; a + 2b lập thành cấp số cộng và các số (b + 1)2 ; ab + 1 ; (a – 1)2 lập thành cấp số nhân?

Hướng dẫn giải: Theo bài ra ta có các số 5a – b; 2a + 3b; a + 2b lập thành cấp số cộng => Ta có: 2(2a + 3b) = 5a – b + a + 2b <=> 4a + 6b = 6a + b <=> 2a = 5b.

Theo bài ra ta có các số (b + 1)2 ; ab + 1 ; (a – 1)2 lập thành cấp số nhân => Ta có: (ab + 1)2 = (b + 1)2(a – 1)2 <=> [ ab + 1 + (b +1)(a – 1) ] [ ab + 1 – (b +1)(a – 1)] = 0 <=> (2ab – b + a)(2 + b – a) = 0 <=> (4 + 2b – 2a) (4ab + 2a – 2b) = 0. Thay 2a = 5b vào (4 + 2b – 2a) (4ab + 2a – 2b) = 0 ta có như sau: ( 4 + 2b – 5b )( 4ab + 5b – 2b ) = 0 <=> b( 4 – 3b )( 10b + 3 ) = 0 <=> b = 0; b = 4/3; b = -3/10 và a = 0; a = 10/3; a = -3/4.

Kết luận ( a; b) ∈ { ( 0; 0 ); ( 10/3 ; 4/3 ); ( -3/4 ; -3/10) }

Ví dụ 2: Chứng minh rằng ba số x, y, z là một cấp số nhân sao cho ba số 2/(x – y) = 1/y = 2/(b – z) lập thành một cấp số cộng.

Theo bài ra ba số 2/(x – y) = 1/y = 2/(b – z) lập thành một cấp số cộng.

Ta có: 2/(x – y) + 2/(y – z) = 2/y <=> y( y- z + y – x ) = ( y – x )( y – z ) <=> y^2 = xz.

Kết luận: Ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân.

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để bộ số lập thành một cấp số nhân

Với phương pháp giải, ta cần xác định số hạng đầu u1 và công bội q. Ta thiết lập một hệ phương trình với hai ẩn u­1 và q và tìm số hạng đầu u­1 và công bội q.

Ví dụ 1: Tìm điều kiện của x sao cho phương trình: ax2+ bx2 + cx + d = 0, với a ≠ 0 có 3 nghiệm phân biệt là x1, x2, x3 lập thành cấp số nhân.

Hướng dẫn giải: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành cấp số nhân => x1x3 = (x2)^2 ( Điều kiện đủ ).

Ta có: x1 + x2 + x3 = – b/a và x1x2 + x2x3 + x3x1 = c/a<=> x1x2 + x2x3 + (x2)^2 = c/a<=> x2 (x1 + x2 + x3) = c/a<=> x2 = – c/b.

Thay số x2 = – c/b vào phương trình ax2+ bx2 + cx + d = 0, với a ≠ 0 ta có:

a(-c/b)^3 + b(-c/b)^2 + c(-c/b) + d = 0 <=> a/c^3 = b^3/d. ( Điều kiện đủ ).

Ví dụ 2: Để ba số a – 2, a – 4, a + 2 lập thành một cấp số nhân. Vậy x bằng bao nhiêu?

Để ba số a – 2, a – 4, a + 2 lập thành một cấp số nhân thì phải có điều kiện là: (a – 4)^2 = (a – 2)(a + 2) <=> 8a = 20<=> a = 52.

Kết luận: Vậy với điều kiện a = 52 thì ba số a – 2, a – 4, a + 2 lập thành một cấp số nhân.

Dạng 4: Tìm các phần tử của một cấp số nhân (un)

Với phương pháp giải, ta xác định số hạng đầu u1 và công bội q bằng cách thiết lập một hệ phương trình với hai ẩn u­1 và q.

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (Un) có số hạng tổng quát là: un = 2.( -3)k.

a) Tính S15 khi cấp số nhân (Un) có số hạng tổng quát là: un = 2.( -3)k.

b) Tính tổng của tất cả các số hạng của cấp số nhân (u­n) khi cấp số nhân (Un) có số hạng đầu là 18, số hạng thứ hai kia là 54, số hạng cuối bằng 39366.

Hướng dẫn giải:

a) Khi cấp số nhân (u­n) có số hạng tổng quát là: un = 2. (- 3)k => số hạng đầu tiên u1 = 2 và công bội q = – 3 => S15 = [ u1( 1 – q^n )/ ( 1 – q) = ( 3^15 + 1) / 2.

b) Số hạng đầu tiên u1 = 18. Số hạng thứ hai u2 = 54 => u1.q = 54 => Công bội q = 3. Số hạng cuối un = 39366 => u1.q^(n – 1)= 39366 => n = 8. => S8 = [ u1(1 – q)^n]/(1 – q) = 59040.

Đó là những điều cơ bản về cấp số nhân và công bội mà bạn cần biết. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này. Để tìm hiểu thêm thông tin về giáo dục, hãy truy cập vào trang web Izumi.Edu.VN.

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Công thức