Tìm hiểu về Hệ Thức Lượng trong Tam Giác Vuông và Tam Giác Thường

Tam giác vuông là một chủ đề quan trọng trong toán học, đặc biệt là đối với học sinh lớp 9. Để giải các bài tập một cách nhanh chóng và hiểu vấn đề một cách sâu sắc, chúng ta cần nắm vững các công thức liên quan. Dưới đây là tổng hợp những công thức cần nhớ.

1. Các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông

1.1 Hệ thức liên quan về cạnh và đường cao

Trong một tam giác vuông ABC với cạnh huyền là c và đường cao AH, các công thức sau đây là những gì học sinh lớp 9 cần ghi nhớ:

Bạn đang xem: Tìm hiểu về Hệ Thức Lượng trong Tam Giác Vuông và Tam Giác Thường

AB^2 = BH BC
AC^2 = CH
BC
AH^2 = BH CH
AB AC = AH * BC
1/đường cao^2 = 1/AB^2 + 1/AC^2
Cạnh huyền^2 = cạnh góc vuông AB^2 + cạnh góc vuông AC^2

1.2 Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Dưới đây là một số kiến thức quan trọng về các tỉ số lượng giác và hệ thức lượng giác trong tam giác vuông:

a) Định nghĩa về tỉ số lượng giác:
Sin alpha = Đối / Huyền
Cos alpha = Kề / Huyền
Tan alpha = Đối / Kề
Cot alpha = Kề / Đối

b) Định lý về tỷ số lượng giác:
Trong một tam giác vuông, nếu hai góc phụ nhau, các công thức áp dụng để giải bài tập là: sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia và ngược lại.

c) Các so sánh cần nhớ của hệ số lượng giác:
Cho hai góc alpha và beta là hai góc nhọn của một tam giác vuông. Nếu alpha bé hơn beta và tổng của hai góc này là 90 độ, ta có:
Sin alpha < Sin beta và đồng thời Tan alpha < Tan beta.
Cos alpha > Cos beta và tương tự, Cot alpha > Cot beta.
Sin alpha < Tan alpha và bên cạnh đó Cos alpha < Cot alpha.

2. 4 Định lý lượng giác trong tam giác vuông

Các định lý lượng giác trong tam giác vuông giúp chúng ta dễ hiểu và hình dung bài toán hơn. Dưới đây là tổng hợp của chúng:

Định lí 1

Trong một tam giác vuông bất kỳ, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền trong tam giác đó và hình chiếu tương ứng của cạnh góc vuông đó lên cạnh huyền.
b^2 = ab’ ; c^2 = ac’

Định lí 2

Trong một tam giác vuông bất kỳ, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông tương ứng lên cạnh huyền.
h^2 = b’c’

Định lí 3

Trong một tam giác vuông cho sẵn, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền tương ứng và đường cao nối từ đỉnh góc vuông của tam giác đó.
ah = bc

Định lí 4

Trong một tam giác vuông được cho sẵn, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền trong tam giác đó sẽ bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông tương ứng.

3. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Nếu α là một góc nhọn bất kỳ, chúng ta có các thành phần sau:
0 < sinα < 1
0 < cosα < 1, tanα > 0
cotα > 0, sin2α + cos2α = 1
tanα.cotα = 1; tanα = sinα.cosα
cotα = cosα.sinα
1 + tan2α = 1cos2α
1 + cot2α = 1sin2α

4. Hướng dẫn một số dạng bài tập hệ thức lượng trong tam giác

Dưới đây là một số dạng bài tập tiêu biểu để áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông lớp 9:

4.1 Chứng minh các hệ thức và tính giá trị của biểu thức

Phương pháp giải:
Áp dụng các phương pháp chứng minh đẳng thức: biến đổi để hai vế bằng nhau, từ giả thiết ban đầu dẫn đến đẳng thức đã được công nhận là đúng,… Sử dụng các định lý trong tam giác vuông, tam giác thường và các hệ thức lượng giác.

4.2 Tính toán các đại lượng

Phương pháp giải:
Áp dụng tính sin, cos, trung tuyến, diện tích và mối liên hệ giữa các đại lượng cần tính, các tam giác đặc biệt.

4.3 Chứng minh tam giác

Phương pháp giải:
Áp dụng các hệ thức lượng giác, định lý, công thức diện tích, đường trung tuyến, các bất phương trình và hằng số cơ bản.

4.4 Các bài toán thực tế về giải tam giác

Phương pháp giải cụ thể:
Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và góc còn lại trong tam giác khi biết giả thiết, và áp dụng các hệ thức lượng, định lý, công thức diện tích, đường trung tuyến. Bài toán thực tế có thể được giải bằng cách quay trở lại bài toán tam giác để xác định số đo cần thiết.

5. Tổng hợp bài tập vận dụng và hướng dẫn giải chi tiết

Dưới đây là một số bài tập tiêu biểu và hướng dẫn giải chi tiết nhất các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Bài 1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có đường cao AH của tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 3 và 4. Áp dụng các quan hệ đã học để tính toán các cạnh và góc vuông của tam giác ABC như hình minh hoạ bên trên.

Lời giải: Trước tiên, xác định các yếu tố dữ kiện của bài toán. Lưu ý rằng các góc vuông và cạnh huyền trong tam giác. Sau đó, xem xét các cạnh mà chúng ta cần tính toán thuộc về tam giác nào. Sau khi xem xét dữ liệu sẵn có, chúng ta có thể áp dụng các hệ thức liên quan để giải bài toán theo yêu cầu.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh góc vuông kề với góc 60 độ của tam giác vuông này bằng 3. Sử dụng bảng lượng giác các góc đặc biệt để tìm cạnh huyền và cạnh góc vuông còn lại (Lưu ý bạn cần phải làm tròn số vừa tính đến chữ số thập phân thứ tư).

Giải: Tam giác ABC vuông cân tại A, với hai góc còn lại lần lượt là 60 độ và 30 độ. Cạnh đối với góc 60 độ đã cho là 3. Ta có thể áp dụng các công thức liên quan đã học trong bảng lượng giác để tính toán độ dài cạnh huyền và cạnh góc vuông còn lại.

Bài 3: Vận dụng kiến thức đã học để viết tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45 độ, bao gồm sin 60 độ, cos 75 độ, sin 52 độ 30′, cot 82 độ, tan 80 độ.

Lời giải: Đây là dạng bài tập cơ bản về tỉ số lượng giác của góc nhọn. Chúng ta chỉ cần áp dụng các tính chất của lượng giác trong tam giác vuông và thay đổi giá trị cho từng góc tương ứng.

Tổng kết
Trên đây là những thông tin tổng quan về hệ thức lượng trong tam giác vuông và hướng dẫn giải chi tiết một số bài tập liên quan. Hy vọng thông tin hữu ích này sẽ giúp bạn trong quá trình học và làm bài tập.

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Công thức