Tính Tổ Hợp Xác Suất Và Các Dạng Bài Tập

Lời mở đầu

Bạn đang mắc kẹt trong việc tính tổ hợp xác suất và gặp khó khăn với các dạng bài tập? Đừng lo, Izumi.Edu.VN sẽ giúp bạn vượt qua những khó khăn đó! Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp cho bạn các công thức tính tổ hợp và xác suất cùng với một số dạng bài tập đi kèm lời giải chi tiết. Hãy cùng tìm hiểu nhé!

Có thể bạn quan tâm

Các công thức tính tổ hợp

Tổ hợp lặp

Cho tập A gồm n phần tử và số tự nhiên K. Một tổ hợp lặp chập K của n phần tử là một hợp gồm K phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.

Bạn đang xem: Tính Tổ Hợp Xác Suất Và Các Dạng Bài Tập

Số tổ hợp lặp chập K của n phần tử được tính bằng công thức:

C(n|K) = C(n+K-1|K) + C(n+K-1|K-1)

Tổ hợp không lặp

Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm K phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập K của n phần tử.

Số các tổ hợp chập K của n phần tử được tính bằng công thức:

C(n|K) = A(n|K)/K! = n!/(K!(n-K)!)

Trong đó: C(n|0) = 1

Các tính chất của tổ hợp:

C(n|0) = C(n|n) = 1
C(n|K) = C(n|n-K)
C(n|K) = C(n-1|K-1) + C(n-1|K)
C(n|K) = (n-K+1)/K * C(n|K-1)

Các công thức tính xác suất

Xác suất của một biến cố được tính bằng tỉ lệ giữa số phần tử thuộc biến cố đó và số phần tử trong không gian mẫu.

P(A) = n(A)/n(Ω)

Trong đó:

n(A) là số phần tử thuộc biến cố A, cũng chính là số các kết quả có thể có của thử nghiệm T thuận lợi cho biến Q.
n(Ω) là số phần tử của không gian mẫu Ω, cũng chính là số các kết quả có thể có của thử nghiệm T.

Một số công thức quan trọng về tính chất xác suất:

P(∅) = 0, P(Ω) = 1
0 ≤ P ≤ 1
P(A') = 1 - P(A)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(A ∩ B) = P(A) * P(B) (nếu A và B độc lập)

Một số bài tập về tổ hợp xác suất từ cơ bản đến nâng cao (có lời giải)

Sau khi nắm được lý thuyết về tổ hợp xác suất và các công thức, bạn có thể tham khảo một số bài tập dưới đây để rèn kỹ năng của mình!

Câu 1: Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng.

Giải: Số cách lấy ra 4 quả cầu bất kỳ từ 16 quả là C16^4.

Gọi A là biến cố “4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu vàng”. Ta xét ba khả năng sau:

Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: C4^1 * C5^3
Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: C4^1 * C5^2 * C7^1
Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: C4^1 * C5^1 * C7^2

Vậy xác suất của biến cố A là: P(A) = (C4^1 * C5^3 + C4^1 * C5^2 + C4^1 * C5^1 * C7^2) / C16^4 = 37/91

Câu 2: Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X. Tính xác suất để số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ.

Giải: Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập X khi đó: |Ω| = A(9|6) = 60480.

Gọi A là biến cố số được chọn chỉ chứa 3 chữ số lẻ. Ta có 3 bộ số thỏa mãn biến cố A là: {1b2}, {2b4}, {3b6} và trong mỗi bộ thì b có 5 cách chọn nên có 3*5 = 15 số. Các kết quả có lợi cho biến cố A là |Ω_A| = 15.

Vậy xác suất cần tìm là: P(A) = |Ω_A|/|Ω| = 15/60480 = 1/4032

Câu 3: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số {0,1, 2, 3, 4, 5, 6}. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số được chọn có chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng trăm.

Giải: Gọi số cần tìm của S có dạng abc.

Số cách chọn chữ số a có 6 cách (vì a ≠ 0)

Số cách chọn chữ số b có 6 cách (vì a ≠ b)

Số cách chọn chữ số c có 5 cách (vì c ≠ a, c ≠ b)

Vậy S có 6 6 5 = 180 số

Số phần tử của không gian mẫu là 180

Gọi A là biến cố số được chọn có chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng trăm. Khi đó ta có 3 bộ số thỏa mãn biến cố A là: 1b2, 2b4, 3b6 và trong mỗi bộ thì b có 5 cách chọn nên có 3 * 5 = 15 (số). Các kết quả có lợi cho biến cố A là |Ω_A| = 15

Vậy P(A) = |Ω_A|/|Ω| = 15/180 = 1/12

Câu 4: Cho tập A có 20 phần tử. Có bao nhiêu tập con của A khác rỗng và số phần tử là số chẵn?

Giải: Số tập con của A khác rỗng và số phần tử là số chẵn được tính như sau:

C(20|2) + C(20|4) + C(20|6) +...+ C(20|20) = 2^(20-1) - 1 = 2^19 - 1

Câu 5: Trong hệ tọa độ Oxy có 8 điểm nằm trên trục Ox và 5 điểm nằm trên trục Oy. Nối một điểm trên trục Ox và một điểm trên trục Oy ta được 40 đoạn thẳng. Hỏi 40 đoạn thẳng này cắt nhau tại bao nhiêu giao điểm nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ xOy (Biết rằng không có bất kì 3 đoạn thẳng nào đồng quy tại 1 điểm).

Giải: Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 điểm trong 13 điểm đã cho là C8^2 * C5^2 = 280.

Mỗi tứ giác đó có hai đường chéo cắt nhau tại 1 điểm thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ Oxy.

Vậy số giao điểm là 280.

Kết luận

Trên đây là tổng hợp các công thức tính tổ hợp xác suất cũng như các dạng bài tập thường gặp trong chương trình Toán lớp 11. Để đạt kết quả tốt nhất, bạn có thể truy cập Izumi.Edu.VN và đăng ký tài khoản để luyện đề mỗi ngày! Chúc bạn thành công trong học tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới.