Cấp số nhân: Tổng hợp công thức và bài tập

Có phải bạn đang tìm hiểu về cấp số nhân? Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm này cùng với các công thức và bài tập liên quan.

1. Khái niệm về cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số thoả mãn điều kiện sau: mỗi số hạng từ số thứ hai trở đi đều bằng tích của số hạng đứng trước nó với một hằng số gọi là công bội q. Ví dụ: Dãy số {1, 3, 9, 27, …} là một cấp số nhân với công bội q = 3.

Bạn đang xem: Cấp số nhân: Tổng hợp công thức và bài tập

2. Công bội q

Công bội q là hằng số trong công thức của cấp số nhân. Để tính q, ta có công thức sau:

q = (u_{n+1}) / (u_n)

Ví dụ: Cho cấp số nhân {2, 4, 8, 16, …}. Ta có:

q = 4 / 2 = 2

3. Tính chất cấp số nhân

• Bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với dãy hữu hạn) sẽ bằng tích của số đứng trước và số đứng sau nó.
• Số hạng tổng quát của cấp số nhân có thể được tính bằng công thức: un = u1 * (q^(n-1)), với u1 là số hạng đầu tiên và q là công bội.

4. Các công thức cơ bản của cấp số nhân

4.1. Dạng 1: Nhận biết cấp số nhân

Cách nhận biết một dãy số là cấp số nhân:

• Tính công bội q.
• Nếu q là không đổi, thì dãy số là cấp số nhân.
• Nếu q thay đổi, thì dãy số không là cấp số nhân.

4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân

Cách tính công bội q của một dãy số cấp số nhân:

• Sử dụng các tính chất của cấp số nhân.
• Áp dụng công thức q = (u_{n+1}) / (u_n), với u_n là số hạng thứ n của cấp số nhân.

4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân

Cách tính số hạng tổng quát của một cấp số nhân:

• Sử dụng công thức un = u1 * (q^(n-1)), với u1 là số hạng đầu tiên, q là công bội và n là số thứ tự của số hạng cần tìm.

4.4. Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân

Cách tính tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân:

• Sử dụng công thức S = u1 * ((q^n – 1) / (q – 1)), với S là tổng, u1 là số hạng đầu tiên, q là công bội và n là số lượng số hạng cần tính tổng.

4.5. Dạng 5: Tìm cấp số nhân

Cách xác định một dãy số là cấp số nhân:

• Xác định số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân.
• Sử dụng các phương pháp khác nhau để tìm công thức cho số hạng tổng quát của cấp số nhân.

5. Cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn là một dạng đặc biệt của cấp số nhân, với công bội q thỏa mãn -1 < q < 1. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S được tính bằng công thức: S = u1 / (1 – q).

6. Bài tập và phương pháp giải chi tiết

Dưới đây là một số bài tập và phương pháp giải chi tiết liên quan đến cấp số nhân:

• Bài tập 1: Cho cấp số nhân un có công bội q.
  a) Biết u1 = 2, u6 = 486. Tìm q.
  b) Biết u4 – u2 = 25, u3 – u1 = 50. Tìm u1.
  c) Biết u1 = 3, q = -2. Xác định số 192 là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân.

• Bài tập 2: Tìm các số hạng của cấp số nhân (un) biết cấp số nhân gồm 5 số hạng và:
  a) TH1: u3 = 3, u5 = 27.
  b) TH2: u4 – u2 = 25, u3 – u1 = 50.

• Bài tập 3: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62.

• Bài tập 4: Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng tại thời điểm khảo sát số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng lương như vậy thì sau 5 năm và 10 năm nữa, dân số của tỉnh đó là bao nhiêu?

• Bài tập 5: Đề bài cho số hạng đầu u1 và tỉ lệ tăng dân số là 0. Mặt khác, tổng của cấp số nhân là 0, tìm u1.

Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cấp số nhân, các công thức và bài tập liên quan. Hãy ghé thăm Izumi.Edu.VN để tìm hiểu thêm về các khóa học và ôn tập kiến thức Toán THPT.

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Công thức