Công Thức Đạo Hàm Toán 12: Nắm Trọn Công Thức Đầy Đủ và Chi Tiết

Công thức đạo hàm toán không chỉ nhiều mà còn khó nhớ. Vì vậy, trong bài viết này, mình sẽ tổng hợp đầy đủ các kiến thức từ cơ bản đến nâng cao để giúp các bạn giải toán đạo hàm dễ dàng hơn. Cùng đi vào chuyên đề đạo hàm và công thức tính đạo hàm với mình ngay nhé!

Đạo Hàm Là Gì?

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số với số gia của đối số tại x0, khi số gia của đối số tiến dần về 0. Từ định nghĩa này, ta có:

Bạn đang xem: Công Thức Đạo Hàm Toán 12: Nắm Trọn Công Thức Đầy Đủ và Chi Tiết

Hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) và x0 ∈ (a;b)

Định nghĩa đạo hàm:

=> Nếu y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Một số quy tắc đạo hàm cơ bản mà các bạn cần nhớ như sau:

• (c)’ = 0 (Đạo hàm của hằng số luôn bằng 0)
• (u + v)’ = (u)’ + (v)’
• (u – v)’ = (u)’ – (v)’
• (u1 + u2 + … + un)’ = (u1)’ + (u2)’ + …. (un)’
• (u1 – u2 – … – un)’ = (u1)’ – (u2)’ – …. (un)’
• (u.v)’ = (u)’.v + (v)’.u
• (u/v)’ = [(u)’.v – (v)’.u]/v^2
• Nếu y = y[u(x)] => y'(x) = y'(u).u'(x)

Công Thức Đạo Hàm Cơ Bản

Các bạn cần nhớ các công thức đạo hàm cơ bản như sau:

• (u + v)’ = u’ + v’
• y’x = y’u.ux
• (u.v)’ = u’.v + u.v’
• (k.u)’ = k.u’
• (u/v)’ = [(u)’.v – (v)’.u]/v^2
• (k/u)’ = – (k.u’)/u^2

Công Thức Đạo Hàm Đầy Đủ Sơ Cấp, Cao Cấp, Lượng Giác

Để giúp các bạn có thể nắm bắt trọn vẹn các công thức đạo hàm từ sơ cấp, cho đến cao cấp và cả đạo hàm lượng giác, mình sẽ chia sẻ bảng công thức đầy đủ và chi tiết dưới đây:

Công Thức Đạo Hàm Sơ Cấp, Thường Gặp

Công Thức Đạo Hàm Cao Cấp

Công Thức Đạo Hàm Lượng Giác

Một Số Phân Thức Hữu Tỉ Cơ Bản Thường Gặp và Đạo Hàm Của Chúng

Các Dạng Bài Tập Liên Quan Đến Công Thức Đạo Hàm

Trong quá trình làm và giải bài tập về đạo hàm, các bạn sẽ gặp rất nhiều các dạng bài khác nhau. Mình đã tổng hợp và gửi đến các bạn các dạng phổ biến hay gặp nhất kèm cách giải và ví dụ minh họa.

Dạng 1: Tính Đạo Hàm Bằng Định Nghĩa

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số là dạng cơ bản nhất của giải tích. Các bạn chỉ cần nhớ định nghĩa và áp dụng nó vào bài là có thể tìm ra đáp án chuẩn xác.

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 2x^3 + 1 tại x = 2

Giải:
Đáp án ví dụ 1

Dạng 2: Chứng Minh Các Đẳng Thức Bằng Đạo Hàm

Đây là dạng bài mà các bạn cần phải chú trọng vào chứng minh một hệ thức thông qua điều kiện được đề bài cho sẵn. Muốn ra kết quả cuối cùng, các bạn cần có kỹ năng chứng minh và tính toán chính xác.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = e^-x.sinx, chứng minh hệ thức y” + 2y’ + 2y = 0

Giải:
[Đáp án ví dụ 2]

Dạng 3: Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Khi Biết Tiếp Điểm

Dạng viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm rất hay gặp. Thường đề bài sẽ cho cụ thể phương trình tiếp tuyến của hàm số trên đồ thị cong (C): y = f(x) tại tiếp điểm M (x0; y0) và y = y'(x0).(x-x0) + y0.

Ví dụ 3: Cho một hàm số y = x^3 + 3.m.x^2 + (m + 1).x + 1 với m là một tham số thực. Tìm giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm có hoành độ x = -1 và đi qua điểm A(1;2)

Giải:
Ta có: y’ = f'(x) = 3.2 + 6.m.x + m + 1
Với x0 = -1 => y0 = 2.m – 1 và f'(-1) = -5m + 4
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-1; 2.m – 1) là:
y = (-5.m + 4).(x + 1) + 2.m – 1
Theo đề bài ta có điểm A (1;2) nằm trên tiếp tuyến của đồ thị hàm số y, nên ta có:
y = (-5.m + 4).(x + 1) + 2.m – 1
⇔ (-5.m + 4).2 + 2.m – 1 = 2
⇔ m = 5/8

Dạng 4: Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Khi Biết Hệ Số Góc

Đây cũng là một dạng mà các bạn cần vận dụng công thức đạo hàm vào tính toán để tìm ra kết quả chuẩn xác. Khi đề bài cho một hàm số y = f(x) biết hệ số góc là k cho trước. Lúc này các bạn sẽ cần gọi M(x0; y0) là tiếp điểm thì khi đó các bạn cần tính y’ = y'(x0). Khi đó, phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k với y’ = y'(x0) là:
x0 => y0 = f(x0) => Phương trình tiếp tuyến ∆: y = k.(x – x0) + y0

Với hệ số góc k = y'(x0), lúc này các bạn cần cần nhớ thêm các kiểu gián tiếp như sau:

Ví dụ 4: Cho đồ thị (C) có hàm số y = x^3 + 3.2 – 9x + 5. Hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến của đồ thị trên.

Giải:
[Đáp án ví dụ 4]

Dạng 5: Phương Trình và Bất Phương Trình Có Đạo Hàm

Đây là dạng toán mà các bạn sẽ phải kết hợp nhiều công thức đạo hàm với nhau để có thể tính toán và tìm ra kết quả. Vì vậy, các bạn cần nhớ tất cả các công thức đạo hàm cơ bản mới có thể giải được dạng toán này nhé!

Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) = x^3.lnx, hãy giải phương trình: f'(x) – 1/x.f(x) = 0 (1)

Giải:
[Đáp án ví dụ 5]

Dạng 6: Áp Dụng Công Thức Tính Đạo Hàm

Đây là một dạng cực kỳ cơ bản, nhưng đòi hỏi các bạn phải nhớ các công thức tính đạo hàm. Một mẹo khi giải quyết bài tập là các bạn nên rút gọn hàm số phức tạp để có thể tiến hành tính đạo hàm của hàm số một cách dễ dàng nhất.

Ví dụ 6: Tính đạo hàm của các hàm số dưới đây
a, y = x^3 – 2x^2 + 3x + 4
b, y = sinx – cosx + tanx
c, y = x^4 + 2√x
d, y = cotx – 3x + 2

Giải:
a, y = x^3 – 2x^2 + 3x + 4
⇔ y’ = (x^3 – 2x^2 + 3x + 4)’ = 3x^2 + 4x + 3

b, y = sinx – cosx + tanx
⇔ y’ = (sinx – cosx + tanx)’ = cosx + sinx + 1/cos^2x

c, y = x^4 + 2√x
⇔ y’ = (x^4 + 2√x)’ = 4x^3 + 1/√x

d, y = cotx – 3x + 2
⇔ y’ = (cotx – 3x + 2)’ = -(1/sin^2x) – 3

Dạng 7: Tính Đạo Hàm Cao Cấp

Đây là dạng tính đạo hàm cấp 2 trở lên và các bạn cần áp dụng các công thức tính đạo hàm cao cấp để giải. Thường đây sẽ là câu hỏi khó dành để phân loại học sinh khá giỏi trong bài kiểm tra hoặc bài thi đại học.

Như vậy, toàn bộ bài viết trên mình đã cung cấp đầy đủ và trọn vẹn công thức đạo hàm để các bạn nắm được. Hy vọng chúng bổ ích và giúp các bạn tính toán dễ dàng hơn.

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Công thức