Tính thể tích khối hộp – Một số ví dụ với lời giải chi tiết

Hình hộp là một hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính thể tích của khối hộp và xem xét một số bài toán minh họa đi kèm với lời giải chi tiết.

Kiến thức cần nắm vững

Hình hộp

• Hình hộp là một hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành.
• Hình hộp có 6 mặt là hình bình hành và 4 đường chéo đồng qui tại tâm của hình hộp.
• Thể tích của khối hộp bằng tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối hộp.

Hình hộp chữ nhật

• Hình hộp chữ nhật là một hình hộp đứng và có đáy là hình chữ nhật.
• Gọi $a$, $b$, $c$ là 3 kích thước của hình hộp chữ nhật.
• Đường chéo của hình hộp chữ nhật $d$ được tính theo công thức: $d = sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.
• Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật $S$ được tính theo công thức: $S = 2(ab + bc + ca)$.
• Thể tích của hình hộp chữ nhật $V$ được tính theo công thức: $V = abc$.

Hình lập phương

• Hình lập phương là một hình hộp chữ nhật có 3 kích thước bằng nhau.
• Gọi $a$ là cạnh của hình lập phương.
• Đường chéo của hình lập phương $d$ được tính theo công thức: $d = asqrt{3}$.
• Diện tích toàn phần của hình lập phương $S$ được tính theo công thức: $S = 6a^2$.
• Thể tích của hình lập phương $V$ được tính theo công thức: $V = a^3$.

Một số bài toán áp dụng

Bài toán 1

Tính thể tích của khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$, biết rằng $AA’B’D’$ là khối tứ diện đều cạnh $a$.

Bạn đang xem: Tính thể tích khối hộp – Một số ví dụ với lời giải chi tiết

Giải: Vì $AA’B’D’$ là tứ diện đều, ta có đường cao $AH$ của nó có hình chiếu $H$ là tâm của tam giác đều $A’B’D’$. Suy ra:

• $A’H = frac{asqrt{3}}{3}$
• $AH = sqrt{AA{‘^2} – A'{H^2}} = frac{asqrt{6}}{3}$

Ta có đáy $A’B’C’D’$ là hình thoi có góc $B’A’D’$ bằng $60°$, nên:

• $S_{A’B’C’D’} = A’B’.A’D’.sin{60^0} = frac{a^2sqrt{3}}{2}$

Vậy thể tích khối hộp $V = S.h = frac{a^2sqrt{3}}{2} cdot frac{asqrt{6}}{3} = frac{a^3sqrt{2}}{2}$.

Bài toán 2

Cho khối hộp $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng $a$, $widehat{{A_1}AB} = widehat{BAD} = widehat{{A_1}AD} = alpha$ $({0^0} < alpha < {90}^0)$. Hãy tính thể tích của khối hộp.

Giải:
Hạ ${A_1}H bot AD$ $(H in AD)$. Tam giác ${A_1}BD$ là tam giác cân (do ${A_1}B = {A_1}D$). Suy ra $BD bot {A_1}O$. Mặt khác $BD bot AD$. Suy ra: $BD bot left( {{A_1}AO} right)$ $ Rightarrow BD bot {A_1}H$. Do đó ${A_1}H bot (ABCD)$. Đặt $widehat{{A_1}AD} = varphi$. Hạ ${A_1}K bot AD$ $ Rightarrow HK bot AK$. Ta có: $cos varphi.cos frac{alpha }{2} = frac{AH}{{A{A_1}}} cdot frac{{AK}}{{AH}} = frac{{AK}}{{A{A_1}}}$ $ = cos varphi $ nên $cos varphi = frac{{cos alpha}}{{cos frac{alpha }{2}}}$. Do đó: ${A1}H = a.sin varphi $ $ = asqrt {1 – frac{{cos^2 alpha }}{{cos^2 frac{alpha }{2}}}} $ $ = frac{a}{{cos frac{alpha }{2}}} sqrt {frac{{cos^2 frac{alpha }{2} – cos^2 alpha }}{{cos^2 frac{alpha }{2}}}} $ ${V{ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = AB.AD.sin alpha .{A_1}H$ $ = {a^2}sin alpha .frac{a}{{cos frac{alpha }{2}}} sqrt {frac{{cos^2 frac{alpha }{2} – cos^2 alpha }}{{cos^2 frac{alpha }{2}}}} $ $ = 2{a^3}sin frac{alpha }{2}sqrt {frac{{cos^2 frac{alpha }{2} – cos^2 alpha }}{{cos^2 frac{alpha }{2}}}} $.

Bài toán 3

Cho khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy là hình chữ nhật với $AB = sqrt{3}$, $AD = sqrt{7}$ và các cạnh bên bằng $1$. Hai mặt bên $(ABB’A’)$ và $(ADD’A’)$ lần lượt tạo với đáy những góc $45°$ và $60°$. Hãy tính thể tích khối hộp.

Giải:
Hạ $A’H bot (ABCD)$, $HM bot AD$, $HK bot AB$. Ta có: $AD bot A’M$, $AB bot A’K$. $ Rightarrow widehat{A’MH} = {60^0}$, $widehat{A’KH} = {45^0}$. Đặt $A’H = x$. Khi đó: $A’M = frac{x}{sin {60^0}} = frac{2x}{sqrt{3}}$. $AM = sqrt{AA{‘^2} – A’^2M} $ $ = sqrt{frac{3 – 4x^2}{3}} = HK$. Mà $HK = xcot {45^0} = x$ nên $x = sqrt{frac{3}{7}}$. Vậy ${V_{ABCD.A’B’C’D’}} = AD.AB.x = sqrt{7}.sqrt{3}.sqrt{frac{3}{7}} = 3$.

Bài toán 4

Cho khối lăng trụ tứ giác đều $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ có khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và ${A_1}D$ bằng $2$ và độ dài đường chéo của mặt bên bằng $5$.
a) Hạ $AK bot {A_1}D$ $left( {K in {A_1}D} right)$. Chứng minh rằng: $AK = 2$.
b) Tính thể tích khối lăng trụ $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$.

Giải:
a) $AB//{A_1}{B_1}$ $ Rightarrow AB//left( {{A_1}{B_1}D} right)$ $ Rightarrow dleft( {A,left( {{A_1}{B_1}D} right)} right) = dleft( {AB,{A_1}D} right)$. Ta có: ${A_1}{B_1} bot left( {A{A_1}{D_1}D} right)$ $ Rightarrow {A_1}{B_1} bot AK$. Mặt khác: ${A_1}D bot AK$ $ Rightarrow AK bot left( {{A_1}{B_1}D} right)$. Vậy $AK = dleft( {A,left( {{A_1}{B_1}D} right)} right) = dleft( {AB,{A_1}D} right) = 2$.
b) Xét tam giác vuông ${A_1}AD$, ta có: $A{K^2} = {A_1}K.KD$. Đặt ${A_1}K = x Rightarrow 4 = x(5 – x)$ $ Rightarrow {x^2} – 5x + 4 = 0$ $ Rightarrow x = 1$ hoặc $x = 4$. Với $x = 1$, $AD = sqrt{A{K^2} + K{D^2}} = 2sqrt{5}$, $AA_1 = sqrt{{A1}{D^2} – A{D^2}} = sqrt{5}$. Khi đó ${V{ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D1}}} = 20sqrt{5}$. Với $x = 4$, tương tự ta có: ${V{ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = 10sqrt{5}$.

Bài toán 5

Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có tất cả các cạnh đều bằng $d$ và ba góc của đỉnh $A$ đều bằng $60°$.
a) Tính độ dài các đường chéo và thể tích $V$ của hình hộp.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt song song của hình hộp.
c) Có thể cắt hình hộp bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện nhận được là một hình vuông?

Giải:
a) Đường chéo của hình hộp $d_1$ được tính theo công thức: $d_1 = dsqrt{3}$.
Đường chéo khác của hình hộp $d_2$ được tính theo công thức: $d_2 = dsqrt{2}$.
Thể tích của hình hộp $V$ được tính theo công thức: $V = frac{d^3sqrt{2}}{12}$.

b) Khoảng cách giữa hai mặt song song của hình hộp $h$ có giá trị là $h = frac{dsqrt{6}}{2}$.

c) Có thể cắt hình hộp bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện nhận được là một hình vuông.

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Công thức