Cùng khám phá công thức cấp số cộng cùng Izumi.Edu.VN

Công thức giải nhanh cấp số cộng

Cấp số cộng

1. Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai.

Công thức tính tổng cấp số cộng: ∀n∈N∗, Un+1=Un+d

Giải thích:

• Kí hiệu d được gọi là công sai
• Un+1 – Un = d với mọi n ∈ N* (trong đó d là hằng số), còn Un+1, Un là hai số liên tiếp của dãy số cấp số cộng
• Khi hiệu số Un+1 – Un phụ thuộc vào n thì không thể là cấp số cộng.

+Các tính chất:

Ví dụ:

Dãy số 3;6;9;12;153;6;9;12;15 là một cấp số cộng vì:
6=3+3
9=6+3
12=9+3
15=12+3

Đây là CSC có công sai d=4 và số hạng đầu u1=3.

2. Số hạng tổng quát

un=u1+(n-1)d,(n≥2)
d=un−u1n−1

Ví dụ:

Cho CSC (un), biết u1=−1,d=3. Tìm u20.

Ta có:
u20=u1+(20−1)d=u1+19d=−1+19.3=56

3. Tính chất

4. Tổng nn số hạng đầu

Bài tập cấp số cộng minh họa

Câu 1: [Đề thi tham khảo lần 2 năm 2020] Cho cấp số cộng (un) với u1 = 3, u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Hướng dẫn giải
Công sai của cấp số cộng đã cho bằng u2-u1=6

Câu 2: [Đề thi thử chuyên KHTN Hà Nội] Cho một cấp số cộng có u1=−3;u6=27. Tìm d ?

Hướng dẫn giải
u6=27⇔u1+5d=27⇔−3+5d=27⇔d=6

Câu 3: [Đề thi thử chuyên Vinh Nghệ An] Tìm 4 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của 4 số = 20 và tổng các bình phương của 4 số đó là 120.

Hướng dẫn giải
Giả sử bốn số hạng đó là a + x, a – 3x, a – x, a + 3x với công sai là d = 2x.
Khi đó, ta có:

Vậy 4 số đó: 2, 4, 6, 8.

Câu 4: [Đề thi thử chuyên PBC Nghệ An] Cho dãy số (un) có d = -2; S8 = 72. Tính u1 ?

Hướng dẫn giải
Ta có:

Câu 5: [Đề thi thử sở GD Hà Nội] Xác định a để 3 số : 1+3a;a2+5;1−a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

Hướng dẫn giải
Ba số : 1+3a;a2+5;1−a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
a2+5−(1+3a)=1−a−(a2+5)⇔a2−3a+4=−a2−a−4⇔a2−a+4=0PT vô nghiệm

Phân dạng bài tập cấp số cộng

Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng

Bước 1: Tìm công sai khi biết hai số hạng liên tiếp nhau theo công thức: d=un-un-1,∀n≥2.
Bước 2: Kết luận:

• Nếu d là số không đổi thì dãy (un) là CSC.
• Nếu d thay đổi theo n thì dãy (un) không là CSC.

Dạng 2: Tìm công sai từ công thức cấp số cộng

Sử dụng các tính chất của CSC ở trên, sau đó biến đổi để tính công sai d

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát un=u1+(n-1)d

Dạng 4: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiên

Ta vận dụng công thức tính tổng cấp số cộng:

Dạng 5: Tìm cấp số cộng

• Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu u1, công sai d.
• Tìm công thức cho số hạng tổng quát un=u1+(n-1)d.

Các bài tập cấp số cộng

Bài 1: [Đề tham khảo lần 2 năm 2020] Cho cấp cấp số cộng (un) với u1 = 3 và u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Hướng dẫn giải
Công sai của cấp số cộng đã cho bằng u2-u1=6

Bài 2: [Đề thi thử toán 2020 sở GD Hà Nội] Cho một CSC có u1=-3;u6=27. Tìm d ?

Hướng dẫn giải
u6=27⇔u1+5d=27⇔-3+5d=27⇔d=6

Bài 3: [Đề thi thử toán 2020 Chuyên PBC] Cho một CSC có u1=13;u8=26 Tìm d?

Hướng dẫn giải
u8=26⇔u1+7d=26

Bài 4: [Đề thi thử chuyên PBC Nghệ An] Cho dãy số (un) có d = -2; S8 = 72. Tính u1 ?

Hướng dẫn giải
Ta có:

Bài 5: [Đề thi thử sở GD Hà Nội] Xác định a để 3 số : 1+3a;a2+5;1−a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

Hướng dẫn giải
Ba số : 1+3a;a2+5;1−a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
a2+5−(1+3a)=1−a−(a2+5)⇔a2−3a+4=−a2−a−4⇔a2−a+4=0PT vô nghiệm

Cách để Tìm tổng của cấp số cộng

Cấp số cộng là dãy số trong đó mỗi số hạng tăng thêm một lượng không đổi. Để tính tổng các số hạng của cấp số cộng, bạn có thể cộng nhẩm tất cả các số. Tuy nhiên, việc này sẽ không khả thi khi cấp số cộng gồm nhiều số hạng. Thay vào đó, bạn có thể nhanh chóng tìm tổng của cấp số cộng bằng cách nhân trung bình cộng của số hạng thứ nhất và số hạng cuối với số số hạng.

Đánh giá cấp số cộng của bạn

Vấn đề 1: Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp số

Phương pháp:

• Ba số theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng <=> a + c = 2b.

• Ba số theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân <=> ac = .

• Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua và d.

• Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua và q.

Vấn đề 2: Chứng minh tính chất của cấp số

Phương pháp:

• Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội.
• Sử dụng tính chất của cấp số:
  i) a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSC <=> a + c = 2b
  ii) a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSN <=> ac =

Vấn đề 3: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số

Phương pháp:

i) theo thứ tự đó lập thành CSC <=> a + c = 2b
ii) theo thứ tự đó lập thành CSN<=> ac =

Công thức toán

• Gia sư môn toán
• Công thức log
• Công thức cấp số cộng
• Công thức bất đẳng thức

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Công thức