Độ Dài Đường Tròn và Cung Tròn: Công Thức và Bài Tập

Tiếp nối chương trình hình học toán lớp 9, Izumi.Edu.VN muốn giới thiệu đến các bạn học sinh chuyên đề về “Độ dài đường tròn và cung tròn”. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về lý thuyết, công thức và các bài tập vận dụng đi kèm.

I. Lý thuyết cần nắm về Độ dài đường tròn và cung tròn

1. Độ dài đường tròn

Độ dài đường tròn (chu vi) được ký hiệu là C. Công thức tính chu vi hình tròn đã được giới thiệu trong chương trình Toán lớp 5.

Bạn đang xem: Độ Dài Đường Tròn và Cung Tròn: Công Thức và Bài Tập

Độ dài của đường tròn với bán kính R được tính theo công thức:

C = 2πR

Nếu gọi d là đường kính của đường tròn (d = 2R), thì độ dài đường tròn được tính theo công thức:

C = πd

Trong đó, π đọc là Pi và được lấy giá trị gần đúng là π ≈ 3,14.

Ví dụ: Tính độ dài đường tròn (O; 5 cm).

Lời giải:
Độ dài của đường tròn (O ; 5cm) có bán kính R = 5 cm là:
C = 2πR = 2π * 5 = 10π ≈ 31,4 cm.

2. Độ dài cung tròn

Đường tròn thực chất là một cung tròn khép kín có số đo bằng 360° và độ dài bằng C = 2πR.

Do đó, mỗi 1° có độ dài bằng (2πR * 1) / 360.

Suy ra độ dài của cung tròn n° được tính theo công thức sau:

l = (πRn) / 180

Trong đó:

• l là độ dài cung tròn,
• π là hằng số, π ≈ 3,14,
• n° là số đo của cung cần tính độ dài.

Ví dụ: Tính độ dài cung tròn sau:

Lời giải:
Cung tròn AB có bán kính R = 12, độ lớn cung bằng n° = 60°.
l = (πRn) / 180 = (π 12 60) / 180 = 4π ≈ 12,56

II. Các dạng bài tập và cách giải chi tiết (Trắc nghiệm + Tự luận)

Chuyên đề Độ dài đường tròn và cung tròn có 2 dạng bài tập chính là:

1. Dạng 1 – Tính độ dài đường tròn và cung tròn
2. Dạng 2 – Một số bài toán tổng hợp

Chúng ta cần phải nắm rõ lý thuyết và các công thức đã nêu ở phần I để áp dụng vào giải các bài toán của hai dạng bài tập này.

Dưới đây là một số Bài tập trắc nghiệm và Bài tập tự luận kèm lời giải chi tiết để các bạn học sinh tham khảo:

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Số đo n° của cung tròn có độ dài 30,8cm trên đường tròn có bán kính 22cm là (lấy π ≈ 3,14 và làm tròn đến độ).
A. 70° B. 80° C. 65° D. 85°

Lời giải:
Độ dài của cung tròn là: l = (πRn) / 180 <=> (π 22 n) / 180 = 30,8 => n ≈ 80°

=> Đáp án đúng là B.

Câu 2: Chu vi đường tròn R = 9 bán kính là:
A. 18π B. 9π C. 12π D. 27π

Lời giải:
Chu vi: C = 2πR = 2 π 9 = 18π

=> Đáp án đúng là A.

Câu 3: Biết C = 36π (cm) là chu vi đường tròn. Tìm đường kính của đường tròn đó.
A. 18π cm B. 14π cm C. 36π cm D. 20π cm

Lời giải:
Chu vi: C = πd <=> πd = 36π => d = 36 cm

=> Đáp án đúng là B.

Câu 4: Chu vi của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a (cm) là:
A. (4πa√3)/3 cm B. (2πa√3)/3 cm C. (πa√3)/3 cm D. (5πa√3)/3 cm

Lời giải:
Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều BAC.
Tia CO ⊥ AB tại D thì D chính là trung điểm của AB => OC = 2/3CD
Xét tam giác vuông ADC có:

• AC = a
• Góc CAD = 60°

=> CD = AC.Sin 60° = (a√3)/2
=> OC = 2/3.(a√3)/2 = (a√3)/3 = R
=> Chu vi đường tròn là: C = 2πR = 2π.(a√3)/3 = (2πa√3)/3 (cm)

=> Đáp án đúng là B.

Câu 5: Cho đường tròn (O) với bán kính là OA. Từ trung điểm của OA là M, vẽ dây BC ⊥ OA. Biết rằng đường tròn (O) có độ dài là 4π cm. Tính độ dài cung lớn BC?:
A. 4π/3 B. 5π/3 C. 7π/3 D. 8π/3

Lời giải:
Vì độ dài đường tròn là 4π nên 4π = 2πR => R = 2 cm
Xét tứ giác ABOC có hai đường chéo AO ⊥ BC tại M là trung điểm mỗi đường => Tứ giác ABOC là hình thoi.
=> OB = OC = AB => ΔABO đều => Góc AOB = 60° => Góc BOC = 120°
=> Số đo cung lớn BC = 360° – 120° = 240°
=> Độ dài cung lớn BC là: l = (πRn)/180 = (π 2 240)/180 = 8π/3

=> Đáp án đúng là D.

Bài tập tự luận

Bài 1: Cho một đường tròn tâm O với bán kính R. Hai tiếp tuyến tại điểm A và điểm B cắt nhau tại điểm M và tạo với nhau một góc bằng 60°.
a) Theo R, hãy tính độ dài cung lớn AB.
b) Tính diện tích của hình giới hạn bởi hai tiếp tuyến và cung nhỏ AB.

Lời giải:
a) Tứ giác OAMB có góc AMB = 60° và góc A = góc B = 90°
=> Góc AOB = 360° – 60° – 90° – 90° = 120°
=> Số đo cung nhỏ AB = 120°
=> Số đo cung lớn AB = 360° – 120° = 240°
=> Độ dài cung lớn AB là: l = (πRn)/180 = (πR * 240)/180 = (4πR)/3

b) Ta có góc MOA = góc MOB = 1/2 góc AOB = 60°
=> MA = OA.tan góc MOA = R√3
=> Diện tích tứ giác MAOB là:
S MAOB = 2S MAO = 2 1/2 MA AO = R²√3
=> Diện tích hình quạt OAB là:
Sq = (πR² 120)/360 = (πR²)/3
Vậy diện tích của hình giới hạn bởi hai tiếp tuyến và cung nhỏ AB là:
S = S MAOB – Sq = R²√3 – (πR²)/3 = R²(√3 – π/3)

Bài 2: Lấy bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường tròn (O) sao cho số đo cung AB = 60°, số đo cung BC = 90°, số đo cung CD = 120°.
a) Tứ giác ABCD là hình gì?
b) Tính độ dài đường tròn (O). Biết diện tích tứ giác ABCD bằng 100 m².

Lời giải:
a) ABCD là hình thang cân.
b) Gọi bán kính của đường tròn (O) là R, đường cao đi qua O của hình thang là EF.
Ta có:

• EF = (2 * 100) / (AB + CD) = 200 / (R√3 + 1)
• EF = OE + OF = R/2 * (R√3 + 1)

Từ đó suy ra: R = 20 / (R√3 + 1) = 10(R√3 – 1)
=> Độ dài của đường tròn (O) là: C = 2πR = 2π * 10(R√3 – 1) = 20(R√3 – 1)π (m²)

Đó là những kiến thức mà Izumi.Edu.VN cung cấp về chuyên đề “Độ dài đường tròn và cung tròn”. Hãy nghiên cứu kỹ bài viết này để nắm vững kiến thức và vận dụng vào giải bài tập một cách tốt nhất nhé!

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Công thức