Tìm Hiểu Về Nguyên Hàm và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ Nhất

Trong chương trình toán 12, nguyên hàm là một phần kiến thức quan trọng, đặc biệt khi nó liên quan đến hàm số. Các bài tập về nguyên hàm cũng thường xuất hiện trong các đề thi THPT QG gần đây. Tuy nhiên, kiến thức về nguyên hàm là khá rộng và thách thức đối với các bạn học sinh lớp 12. Hôm nay, mình sẽ chia sẻ với các bạn các công thức nguyên hàm để giúp bạn dễ dàng hơn trong việc giải các bài tập liên quan.

1. Lý thuyết về nguyên hàm

1.1. Định nghĩa nguyên hàm

Trong chương trình toán giải tích Toán 12 đã học, nguyên hàm được định nghĩa như sau:

Bạn đang xem: Tìm Hiểu Về Nguyên Hàm và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ Nhất

Một nguyên hàm của một hàm số thực cho trước f là một F có đạo hàm bằng f, nghĩa là, F’ = f. Cụ thể:

Cho hàm số f xác định trên K. Nguyên hàm của hàm số f trên K tồn tại khi F(x) tồn tại trên K và F'(x) = f(x) (với x thuộc K).

Ví dụ, hàm số f(x) = cosx có nguyên hàm là F(x) = sinx vì (sinx)’ = cosx (tức là F'(x) = f(x)).

1.2. Tính chất của nguyên hàm

Xét hai hàm số liên tục g và f trên K:

• ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
• ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (với mọi số thực k khác 0)

Ví dụ, ∫sin^2(x)dx = ∫(1 – cos2x)/2dx = (1/2)∫dx – (1/2)∫cos2xdx = x/2 – (sin2x)/4 + C.

2. Tổng hợp đầy đủ các công thức nguyên hàm dành cho học sinh lớp 12

2.1. Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

2.2. Bảng công thức nguyên hàm nâng cao

2.3. Bảng công thức nguyên hàm mở rộng

3. Bảng công thức nguyên hàm lượng giác

4. Các phương pháp tính nguyên hàm nhanh nhất và bài tập từ cơ bản đến nâng cao

Để dễ dàng thuộc các công thức nguyên hàm, các bạn học sinh cần chăm chỉ giải các bài tập áp dụng các phương pháp và công thức nguyên hàm tương ứng. Dưới đây, mình sẽ hướng dẫn các bạn 4 phương pháp tìm nguyên hàm.

4.1. Công thức nguyên hàm từng phần

Để giải các bài tập áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, trước tiên học sinh cần nắm được định lý sau:

∫u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) – ∫u(x).u'(x)dx

Hay ∫udv = uv – ∫vdu

Với du = u'(x)dx, dv = v'(x)dx

Ta xét 4 trường hợp xét nguyên hàm từng phần (với P(x) là một đa thức theo ẩn x)

Ví dụ minh họa: Tìm nguyên hàm của hàm số ∫x*sinxdx

Giải:

4.2. Phương pháp tính nguyên hàm hàm số lượng giác

Trong phương pháp này, có một số dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp trong các bài tập và đề thi. Dưới đây là một số cách tính nguyên hàm của hàm số lượng giác điển hình.

Dạng 1: ∫dx/(sin(x + a)sin(x + b))
Phương pháp tính:
Dùng đồng nhất thức:
∫dx/(sin(x + a)sin(x + b)) = (sin(a – b)/sin(a – b)) = sin[(x + a) – (x + b)]/(sin(a – b)) = (sin(x + a)cos(x + b) – cos(x + a)sin(x + b))/(sin(a – b))

Từ đó suy ra:
∫dx/(sin(x + a)sin(x + b)) = (1/sin(a – b))∫[(cos(x + b)/sin(x + b)) – (cos(x + a)/sin(x + a))]dx
= (1/sin(a – b))[ln|sin(x + b)| – ln|sin(x + a)|] + C

Ví dụ áp dụng: Tìm nguyên hàm của hàm số ∫dx/sinxsin(x + π/6)

Giải:

Dạng 2: ∫tan(x + a)tan(x + b)dx

Phương pháp tính:

Ví dụ áp dụng: Tìm nguyên hàm của hàm số K = ∫tan(x + π/3)*cot(x + π/6)dx

Giải:

Dạng 3: ∫dx/(asin(x) + bcos(x))

Phương pháp tính:

Ví dụ minh họa: Tìm nguyên hàm I = ∫(2dx)/(sqrt(3)sin(x) + cos(x))

Dạng 4: ∫dx/(asin(x) + bcos(x) + c)

Phương pháp tính:

Ví dụ áp dụng: Tìm nguyên hàm của hàm số I = ∫dx/(3cos(x) + 5sin(x) + 3)

4.3. Cách tính nguyên hàm của hàm số mũ

Để áp dụng giải các bài tập tìm nguyên hàm của hàm số mũ, học sinh cần nắm vững bảng nguyên hàm của các hàm số mũ cơ bản sau đây:

Sau đây là một ví dụ minh họa phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số mũ:

Xét hàm số sau: y = 5*7^x + x^2

Giải:

Nguyên hàm của hàm số đề bài là:

Trên đây là toàn bộ kiến thức cơ bản và tổng hợp đầy đủ công thức nguyên hàm cần nhớ. Hy vọng rằng sau bài viết này, các bạn học sinh sẽ có thể áp dụng công thức để giải các bài tập nguyên hàm từ cơ bản đến nâng cao. Để học và ôn tập nhiều hơn những phần công thức Toán 12 phục vụ ôn thi THPT QG, hãy truy cập Izumi.Edu.VN và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay nhé!

Nguồn: https://izumi.edu.vn/
Danh mục: Công thức